4. Гипергеометрическое распределение

Пусть имеется элементов, среди которых обладают свойством . Случайным образом выбирается элементов (выбор каждого элемента равновозможен), причем выборка осуществляется без возвращения.

Рассмотрим в качестве ДСВ количество элементов , обладающих свойством среди отобранных элементов. Т. е. величина может принимать значения: .

Вероятности этих значений определяются по формуле:

, где . (2)

O. 5. Закон распределения вероятностей ДСВ называется гипергеометрическим, если вероятности ее возможных значений определяются по формуле (2).

Если ДСВ имеет гипергеометрическое распределение, то ее числовые характеристики могут быть найдены по формулам:

.

Пример 3. Гражданин приобрел случайным образом 5 акций двадцати АО. Через год 6 из 20-ти АО разорились. Составить закон распределения и построить многоугольник распределения возможного числа акций банкротов среди купленных гражданином акций и найти числовые характеристики.

Решение:

X	0	1	2	3	4	5
P

Контроль: 1

.

Тема 9. Непрерывные случайные величины (нсв) (4 ч.)

§ 1. Функция распределения вероятностей

Т. к. способ задания случайных величин с помощью ряда распределения имеет место только для ДСВ, то естественно возникает вопрос: можно ли ввести общий способ задания для всех типов случайных величин?

Пусть - случайная величина, а - некоторое действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что примет значение, меньшее обозначается .

Если изменяется, то изменяется и , т.е. есть функция зависящая от .

О. 1. Функцией распределения вероятностей (интегральной функцией) называется функция , определяющая вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, меньшее , т.е.

.

Геометрически это означает, что есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, расположенной слева от точки .

Свойства функции :

1. Значения функции распределения принадлежат отрезку , т.е.

.

2. Функция неубывающая, т.е.

, если .

3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то:

1) при ;

2) при .

4. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале , равна приращению функции распределения на этом интервале:

.

5. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение , равна нулю, т.е.

.

График функции распределения вероятностей ДСВ представляет собой ступенчатую фигуру, а НСВ – непрерывную линию. Причем, если речь идет о ДСВ и ее возможные значения расположить в порядке возрастания , то может быть представлена в виде:

Пример 1. ДСВ задана таблицей распределения:

	1	4	8
	0,3	0,1	0,6

Найти функцию распределения и изобразить ее на графике.

Решение:

Пример 2. НСВ задана своей функцией распределения:

Построить график функции и найти вероятность того, что в результате испытания примет значение, заключенное в интервале .

Решение:

.