- •Тема 8. Дискретные случайные величины (дсв) (3 ч.)
- •§ 1. Понятие и виды случайной величины
- •§ 2. Числовые характеристики дсв
- •§ 3. Законы распределения дсв
- •1. Биномиальное распределение
- •2. Пуассоновское распределение
- •3. Геометрическое распределение
- •4. Гипергеометрическое распределение
- •Тема 9. Непрерывные случайные величины (нсв) (4 ч.)
- •§ 1. Функция распределения вероятностей
- •§ 2. Плотность распределения вероятностей
- •§ 3. Числовые характеристики нсв
- •§ 4. Законы распределения нсв
- •1. Равномерное распределение
- •2. Показательное распределение
- •3. Нормальное распределение
- •Тема 10. Закон больших чисел (1 ч.)
Тема 10. Закон больших чисел (1 ч.)
Поскольку на практике сведения о каждой случайной величине, чаще всего, являются очень скромными и уверенно предсказать какое возможное значение она примет затруднительно, то может показаться, что нельзя установить закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин. Оказывается, что это не так.
Закон больших чисел в широком смысле – это общий принцип, согласно которому совокупное действие большого числа случайных величин приводит, при некоторых сравнительно широких условиях, к результату, почти независящему от случая, т.е. при большом числе случайных величин их средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью точности.
Терема 1. (неравенство Маркова)
Если случайная величина принимает только неотрицательные значения, то для любого числа выполняется неравенство:
.
Для события , противоположного событию , неравенство Маркова может быть записано в виде:
Теорема 2. (неравенство Чебышева)
Вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше любого числа , не меньше чем , т.е.
.
Для события , противоположного событию , неравенство Чебышева может быть записано в виде:
.
Теорема 3. (теорема Чебышева) Если - попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа ), то, как бы мало ни было , вероятность неравенства:
будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.
Замечание 1. Теорема Чебышева утверждает, что если рассматривается достаточно большое число случайных величин, имеющих равномерно ограниченные дисперсии и являющиеся независимыми, то почти достоверным можно считать событие, состоящее в том, что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым.
Теорема 4. (частный случай теоремы Чебышева)
Если - попарно независимые случайные величины, имеющие одинаковые математические ожидание , и их дисперсии равномерно ограничены (не превышают постоянного числа ), то, как бы мало ни было , вероятность неравенства:
будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.
Сущность теоремы Чебышева: хотя отдельные независимые случайные величины могут принимать значения, далекие от своих математических ожиданий, среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значения, близкие к определенному постоянному числу, а именно к числу . Другими словами, отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс, а их среднее арифметическое рассеянно мало.
Значение теоремы Чебышева для практики:
При измерении некоторой физической величины производят несколько измерений и их среднее арифметическое принимают в качестве искомого размера. Теорема Чебышева указывает условия, при которых указанный способ может быть применен.
На теореме Чебышева основан широко применяемый в статистике выборочный метод, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят о всей совокупности исследуемых объектов.
Пусть выполнены условия схемы независимых испытаний Бернулли, причем достаточно велико.
Теорема 5. (теорема Бернулли) Если в каждом из независимых испытаний вероятность события постоянна, то вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности по абсолютной величине будет сколь угодно малым, будет как угодно близка к единице если число испытаний достаточно велико, т.е.
.
Сущность теоремы Бернулли: теорема Бернулли позволяет предвидеть, какова примерно будет относительная частота появления