- •Заняття 9
- •§3.2. Послідовність. Границя послідовності
- •Способи задання послідовностей
- •Властивості, пов’язані із знаходженням границь послідовностей
- •Приклади
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •Заняття 10
- •§3.3. Границя функції
- •Основні теореми про границі
- •Приклади
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •Заняття 11
- •§3.4. Неперервність функції
- •Властивості неперервних функцій
- •Приклади
- •Завдання для самостійного розв’язування
Властивості, пов’язані із знаходженням границь послідовностей
Якщо послідовність збіжна, то вона обмежена.
Якщо послідовності (аn) і (bn) є збіжними, причому і , то збіжними є також послідовності: (аn+bn), (аn–bn), (аnbn), причому
;
.
Якщо послідовності (аn) та (bn) є збіжними і , , причому bn0 nN і 0, то збіжною є також послідовність , причому .
(про границю проміжної послідовності) Нехай (аn) і (bn) – збіжні послідовності, причому . Якщо, починаючи з деякого номера n, виконується нерівність аn≤сn≤bn, то послідовність (сn) також є збіжною, причому .
(про перехід до границі в нерівності) Нехай (аn) і (bn) – збіжні послідовності. Якщо, починаючи з деякого номера n, виконується нерівність аn≥bn, то .
Якщо послідовність (аn) – нескінченно мала, а послідовність (bn) – обмежена, то послідовність (аnbn) – нескінчено мала, тобто .
Якщо і (b – скінченне число), то .
Якщо (a – скінченне число і a0), а , то .
Приклади
Записати чотири перших члени послідовності , якщо:
а) ; б) ; в) .
Розв’язання. Надаючи n послідовно значень 1, 2, 3, 4, одержуємо:
а) ;
б) ; ;
; ;
в) враховуючи, що , маємо:
, ;
; .
Записати одну з формул для загального члена послідовності, якщо відомо її перші чотири члени:
а) ; б)
Розв’язання. а) Чисельники дробів утворюють послідовність натуральних чисел, починаючи з 2, кожен член якої на одиницю є більшим від свого номера, тобто утворюють послідовність . Знаменники дробів є степенями числа 3, тобто утворюють послідовність . Отже, – одна із формул загального члена заданої послідовності.
б) Чисельники дробів утворюють послідовність натуральних чисел. Перші множники 1, 5, 9, 13, … у знаменниках дробів утворюють арифметичну прогресію із різницею d=4 і першим членом . Тому за формулою n-го члена арифметичної прогресії маємо:
.
Другі множники 5, 9, 13, 17, … у знаменниках дробів також утворюють арифметичну прогресію із різницею d=4 і першим членом . Тому n-ий член цієї прогресії дорівнює:
.
Отже, знаменники дробів утворюють послідовність чисел із загальним членом .
Зміну знаку перед членами заданої послідовності можна забезпечити ввівши множником вираз вигляду .
Отже, – одна із формул загального члена заданої послідовності.
Довести обмеженість послідовності із загальним членом .
Розв’язання. Оскільки , то очевидно, що для всіх nN. Враховуючи, що для всіх nN, маємо:
.
Отже, для всіх nN. Тому послідовність із загальним членом є обмеженою.
Довести, що послідовності із загальним членом спадає.
Розв’язання. Маємо: , . Оскільки , то . Тому для всіх nN. Згідно з означенням послідовність є спадною.
Оскільки послідовність є спадною і обмеженою знизу, то за теоремою Вейєрштрасса вона є збіжною. Нижче буде показано, що її границя дорівнює 1.
Знайти границі:
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; є) ;
ж) ; з) ;
и) ; і) .
Розв’язання. а) Якщо n, то n3+, а тому 0. Отже, .
Узагальненням знайденої границі є така границя: , де k і – фіксовані числа, >0.
б) Якщо n, то 5n+ і –5n–. Тому .
в) Оскільки і , , то за властивістю 2 збіжних послідовностей маємо:
= .
г) Оскільки і , то використовувати властивість про границю частки послідовностей не можна. В цьому випадку маємо так звану невизначеність вигляду . Щоб усунути цю невизначеність перетворимо дріб , поділивши його чисельник і знаменник на (найвищий степінь многочленів, що знаходяться у чисельнику і знаменнику):
= = .
Скориставшись спочатку властивістю про границю частки, а потім про границю суми і різниці послідовностей, одержимо:
= =
= .
Отже, .
д) У даному випадку маємо невизначеність вигляду . Поділимо чисельник і знаменник дробу на – найвищий степінь многочленів, що знаходяться у чисельнику і знаменнику дробу, а потім скористаємося властивостями про границю частки і про границю суми збіжних послідовностей:
= = = .
е) Маємо невизначеність вигляду . Поділимо чисельник і знаменник дробу на :
= .
Оскільки і , то за властивістю 8, маємо: .
є) Маємо невизначеність вигляду . Спочатку перетворимо вираз . Цей вираз є сума n перший членів арифметичної прогресії із першим членом а1=1 і різницею d=3. Тому за формулою суми n перших членів арифметичної прогресії маємо:
= .
Тоді
= = .
Поділивши чисельник і знаменник дробу на , а потім скориставшись властивостями про границю частки, суми і різниці збіжних послідовностей, одержимо:
= .
ж) Спочатку перетворимо вирази, що знаходяться у чисельнику і знаменнику дробу. Чисельник дробу є сума n перших членів геометричної прогресії із першим членом b1=1 і знаменником q= . Тому, використовуючи формулу для суми n перших членів геометричної прогресії , одержимо:
= .
Знаменник дробу є сума n перших членів геометричної прогресії із першим членом b1=1 і знаменником q= . Тому
= .
Тоді за властивостями про границю частки і різниці збіжних послідовностей маємо:
.
з) Оскільки і , то маємо невизначеність вигляду . Щоб її усунути, помножимо і поділимо вираз на спряжений до нього: :
=
= =
= = =
= .
При знаходженні останньої границі одержимо невизначеність вигляду . Щоб її усунути перетворимо чисельник і знаменник дробу, а потім скористаємося властивостями про границю частки, суми і різниці збіжних послідовностей:
= =
= = =
= .
и) = . При n≥15 маємо . Тоді . Оскільки , то за властивістю 4 (про границю проміжної послідовності) маємо: =0.
і) Оскільки , послідовність – нескінченно мала, послідовність – обмежена (бо |sin n|≤1 nN), то за властивістю 6 маємо: =0.