- •Заняття 9
- •§3.2. Послідовність. Границя послідовності
- •Способи задання послідовностей
- •Властивості, пов’язані із знаходженням границь послідовностей
- •Приклади
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •Заняття 10
- •§3.3. Границя функції
- •Основні теореми про границі
- •Приклади
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •Заняття 11
- •§3.4. Неперервність функції
- •Властивості неперервних функцій
- •Приклади
- •Завдання для самостійного розв’язування
Завдання для самостійного розв’язування
Записати чотири перших члени послідовності:
а) ; б) ; в) .
Записати одну з формул для загального члена послідовності, якщо відомо її кілька перших членів:
а) б) ;
в) 1, 0, –1, 0, 1, 0, –1, 0; г) .
8. Довести обмеженість послідовності:
а) ; б) .
9. Довести, що послідовність спадає, якщо:
а) ; б) .
10. Довести, що послідовність зростає, якщо:
а) ; б) .
11. Знайти границю:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
Відповіді:
6. а) ; б) ; в) 0, –1, 0, 1;
7. а) ; б) .
11. а) ; б) ; в) 0; г) 0; д) .
Заняття 10
§3.3. Границя функції
Нехай функція y=f(x) визначена в деякому околі О(x0) точки x0 за винятком, можливо, самої точки x0. Тоді число А називають границею функції f у точці x0 і записують =А, якщо =А для довільної послідовності (xn), що володіє властивостями:
1) xnО(x0) nN; 2) xnx0 nN; 3) =x0.
Зауваження 1. В означенні границі функції x0 і А можуть бути як скінченними так і нескінченно віддаленими точками.
Зауваження 2. Існування чи не існування границі функції в точці x0 та значення границі в цій точці не залежить від того, визначена функція f у точці x0 чи ні, а якщо визначена, то чому дорівнює значення функції в цій точці.
Суть поняття границі функції в точці. Число А (скінченне або нескінченно віддалене) є границею функції f у точці х0, якщо значення функції f(x) як завгодно близько наближаються до А, коли значення аргументу х досить близько наближають до х0 і хх0. Отже,
f(x)А, коли хх0 і хх0.
Якщо в означенні границі функції в точці взяти послідовність (xn) такою, що xn<x0 nN, то тоді число А називають лівою границею функції f у точці x0 і позначають =А або , а якщо xn>x0 nN, то тоді число А називають правою границею функції f у точці x0 і позначають =А або .
Для того щоб у точці x0 існувала границя функції f необхідно і достатньо, щоб у цій точці існувала права і ліва границі цієї функції і щоб вони були рівними між собою.
Умови неіснування границі функції f в точці x0. Нехай функція f визначена в деякому околі О(x0) точки x0 за винятком, можливо, самої точки x0. Тоді в цій точці границя функції f не існує, якщо існують принаймні дві такі послідовності (xn) і ( ), що:
xn, О(x0) nN; 2) xnx0 і x0 nN; 2) =x0 і =x0,
але
.
Основні теореми про границі
1. Якщо функція y=f(x) у точці x0 має границю, то ця границя єдина.
2. Якщо в точці х0 існують скінченні границі функцій f і g ( , ), то в цій точці існують також скінченні границі функцій: f+g, f–g, fg, (остання границя буде скінченною за умови ), причому:
а) ;
б) ;
в) .
3. Якщо (А0), а , то .
4. Якщо (А – скінченне число), а , то .
При знаходженні границь часто використовують деякі важливі границі, наведені нижче.
1. (перша чудова границя).
1.1. .
2. або (друга чудова границя).
3. .
3.1. .
4. .
4.1. .
5. або .
Якщо то функцію f називають нескінченно малою в точці х0. Якщо то функцію f називають нескінченно великою в точці х0.
Нескінченно малі (нескінченно великі) у точці х0 функції f і g називають еквівалентними, якщо . При цьому записують , .
Ураховуючи важливі границі, маємо такі еквівалентності при :
, , ,
, , .
При знаходженні границі нескінченно малі (нескінченно великі) функції f і g можна замінювати еквівалентними функціями f1 і g1, тобто = , якщо , при .