Критерий устойчивости гурвица

По критерию Гурвица линейная динамическая система будет устойчива, если все коэффициенты a₀, a₁, a₂, , a_n характеристического уравнения замкнутой системы и все определители ₁, ₂, ₃,, _n положительны.

Из коэффициентов характеристического уравнения n-й степени, которое имеет вид:

строят главный определитель Гурвица:

.

Из главного определителя получают определители низшего порядка, из которых следуют простые алгебраические выражения, составленные из коэффициентов характеристического уравнения.

Таблица составляется по следующему правилу:

По главной диагонали выписываются последовательно коэффициенты характеристического уравнения, начиная с a1. Столбцы таблицы, начиная с главной диагонали, заполняются вверх по возрастающим индексам, вниз – по убывающим; при достижении n-го или нулевого индекса далее в таблице ставятся нули. Для уравнения высоких степеней порядок определителей

возрастает, и практическое вычисление их становиться сложным.

Для часто встречающихся на практике случаев условия устойчивости по критерию Гурвица имеют следующий вид.

Для систем первого и второго порядка условие устойчивости

a₀0, a₁0, a₂0.

Для систем третьего порядка

a₁a₂ – a₀ a₃  0.

Для систем четвертого порядка

a₃(a₁a₂ – a₀ a₃) –  0.

Для систем пятого порядка

a₁a₂ – a₀ a₃  0,

(a₁a₂ – a₀ a₃) (a₃ a₄ – a₂ a₅) – (a₁a₄ – a₀ a₅)²  0.

Для систем шестого порядка

a₃ (a₁a₂ – a₀ a₃) – a₁ (a₁a₄ – a₀ a₅)  0,

(a₁a₂ – a₀ a₃) a₅ (a₃ a₄ – a₂a₅) + a₆ (2a₁a₅ – )] +

+(a₁a₄ – a₀ a₅) [a₁a₃ a₆ – a₅(a₁a₄ – a₀ a₅)] –  0.

Определим устойчивость системы по критерию Гурвица для замкнутой системы.

Определитель четвертого порядка отрицателен, следовательно, система неустойчива по критерию Гурвица.

6. ВЫВОДЫ.

Рассмотренная система является неустойчивой и по логарифмическому критерию и по критерию Гурвица.

7. Список используемой литературы.

1.Основы теории линейных систем автоматического управления: учеб. пособие./Ю.П.Сердобинцев, В.Г.Барабанов; ВолгГТУ. – Волгоград, 2007.-164с.

2.Теория автоматического управления: Учеб. для машиностроит. спец. вузов/ В.Н.Брюханов, М.Г.Косов, С.П.Протопопов и др.; Под ред. Ю.М.Соломенцева.-3-е изд., стер.-М.:Высш. шк.;2000.-268с.

3.Теория автоматического управления: Учеб для вузов. В 2-х ч. Ч.1. Теория линейных систем автоматического управления / Н.А.Бабаков, А.А.Воронов, А.А.Воронова и др.,-Под ред. А.А.Воронова.-2-е изд., перераб. и доп.-М.:Высш. шк. 1986.-367 с.

4.Макаров И.М., Менский Б.М. Линейные автоматические системы (элементы теории, методы расчета и справочный материал). – 2-е изд., перераб. и доп..-М.:Машиностроение, 1982.-504с.

5.Душин С.Е., Зотов Н.С., Имаев Д.Х. Теория автоматического управления; Под ред. В.Б.Яковлева: Учебник. – 2-е изд. – Высш. шк., - 2005. – 567с.