14. Кинетическая энергия абсолютно твердого тела при его вращении вокруг неподвижной оси и при плоском движении

Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий его элементарных объемов:

.

Используя выражение (1), получаем:

,

где   – момент инерции тела относительно оси  .

Кинетическая энергия при плоском движении.

Кинетическая энергия твердого тела представляет собой сумму кинетических энергий отдельных частиц:

(3.37)

где   - скорость центра масс тела,   - скорость i-й частицы относительно системы координат, связанной с центром масс и совершающей поступательное движение вместе с ним. Возводя сумму скоростей в квадрат, получим:

(3.38)

так как   (суммарный импульс частиц в системе центра масс равен нулю).

Таким образом, кинетическая энергия при плоском движении равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений (теорема Кенига). Если рассматривать плоское движение как вращение вокруг мгновенной оси, то кинетическая энергия тела есть энергия вращательного движения.

15. Момент инерции.Определение моментов инерции некоторых тех.Теорема Штейнера

Моментом инерции сист относительно данной оси наз физическая величина,равная сумме произведений масс и материальных точек сист на квардаты их расстояний до рассматриваемой оси ,

Осевой момент инерции тела Ja является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

где:

— масса малого элемента объёма тела ,

— плотность,

— расстояние от элемента до оси a.

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

Теорема Гюйгенса-Штейнера

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела Jc относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

Если — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, то момент инерции относительно параллельной оси, расположенной на расстоянии от неё, равен

где — полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

16. Момент импульса тела относительно оси

Моментом импульса относительно неподвижной оси zназ скалярная величина L_z,равная проекци на эту ось вектора момента импульса,определенного относительно произвольной точки О данной оси.Момент импульса L_zне зависит от положения точки О на оси z.При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z каждая отдельная точка тела движется по окр постоянного радиуса r_i с некоторой скоростью V_i. Скорость V_i и импульс m_iv_i перпендикулярны этому радиусу,т.е радиус явл плечом вектра m_iv_i.. Поэтому можно записать,что момент импульса отдельной частицы равен L_iz=m_iv_ir_i и направлен по оси в сторону,определяемую правилом правого винта(рукоядку по направл вращ,то его перемещ укажет направл углового перемещ)