- •2.1 Анализ расчета цепей постоянного тока с одним источником эдс (вопрос 14)
- •5.3 Переходные процессы в цепи с последовательным соединением резистивного, индуктивного и емкостного элементов (вопрос 60)
- •2.1.7 Параллельное соединение резистивного, индуктивного и емкостного элементов в цепи однофазного синусоидального тока (вопрос 27)
- •Раздел 5 Магнитные цепи
- •Тема 1. Магнитные цепи постоянного потока
- •9.2 Анализ неразветвленных магнитных цепей (вопрос 63)
- •9.4 Анализ разветвленных магнитных цепей (вопрос 64)
- •Тема 2. Магнитные цепи переменного потока
- •9.5 Особенности электромагнитных процессов в магнитных цепях переменного потока (вопрос 65)
- •9.6 Влияние немагнитного зазора в магнитопроводе при синусоидальном потоке (вопрос 66)
- •9.7 Полное уравнение электрического состояния и схема замещения обмотки при синусоидальном потоке (вопрос 67)
5.3 Переходные процессы в цепи с последовательным соединением резистивного, индуктивного и емкостного элементов (вопрос 60)
Рассмотрим апериодическую разрядку конденсатора (рисунок 5.6). Если ключ переключить из положения в положение , то образуется накоротко замкнутый контур, в котором до коммутации конденсатор заряжен до напряжения источника .
Рисунок 5.6 – Апериодическая разрядка конденсатора
После коммутации в замкнутом контуре протекает свободный процесс, который, согласно второму правилу Кирхгофа, описывается однородным уравнением:
.
Так как , то
.
Характеристическое уравнение имеет вид:
, или ,
где корнями данного уравнения являются два корня:
.
Если в колебательном контуре резонансная частота и , то выражение для определения корней характеристического уравнения можно переписать:
.
Характер свободного процесса зависит от вида корней характеристического уравнения, которые, в свою очередь, зависят от соотношения параметров цепи . Свободный процесс, наблюдаемый в замкнутом контуре после коммутации, представляет собой апериодическую разрядку конденсатора. Апериодической называется разрядка конденсатора, заряженного до напряжения , через резистор и индуктивную катушку, когда напряжение на конденсаторе постепенно спадает до нуля. Апериодический процесс разрядки конденсатора имеет место, если корни характеристического уравнения вещественны, т. е. если , или , или получается пара разных корней.
Сопротивление называется критическим, так как оно является наименьшим сопротивлением контура, когда еще имеет место апериодический процесс разрядки конденсатора. При корни характеристического уравнения получаются комплексными и сопряженными. Таким образом, корни характеристического уравнения и будут вещественными и различными, если выполняется условие . Если корни различны, то общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:
,
где и − постоянные интегрирования, а и − вещественные и различные корни, которые должны быть отрицательными, так как свободный процесс должен быть затухающим во времени.
Так как при разрядке конденсатора в накоротко замкнутом контуре процесс является свободным, то переходные значения напряжения и тока равны их свободным значениям, т. е. и . Ток цепи:
.
Подставляя начальные условия при и в
;
и решая совместно систему уравнений, определяем постоянные интегрирования:
Окончательно получаем, что
.
Напряжение на индуктивном элементе определяется по формуле;
.
Так как для свободного процесса, имеющего апериодический характер, корни характеристического уравнения должны быть вещественными и различными, то, согласно (36) и (37), они также всегда должны быть отрицательными.
К ак видно из формул (42), (43) и (44), корни характеристических уравнений входят в показатели экспонент; следовательно, свободные процессы в цепях всегда затухают и тем быстрее, чем больше абсолютное значение корня характеристического уравнения. Если согласно этим формулам характер изменения переходных процессов представить в виде кривых, то каждая из них будет представлять собой сумму двух экспонент с коэффициентами затухания и соответственно. Значение коэффициентов затухания находят по формуле (37). Кривые изменения напряжений и их составляющих на емкостном и индуктивном элементах, а также кривые изменения тока и его составляющих приведены на рисунке 10, а) – в).
а)
б)
в)
Рисунок 10 − Зависимости изменения токов и напряжений и их составляющих на емкостном и индуктивном элементах
Из рисунка видно, что напряжение на емкостном элементе постепенно уменьшается от начального значения , а ток в начальный отрезок времени, возрастая от нуля, достигает максимума, а затем, как и , также затухает. Когда , то . Это означает, что в зависимостях , состоящих из алгебраической суммы двух экспонент, первая экспонента затухает медленнее, чем вторая. Вследствие этого напряжение на емкостном элементе постепенно убывает, оставаясь всегда положительным, так как его первая экспонента положительна и больше второй отрицательной экспоненты. Кривая тока (рисунок 10, б) находится в отрицательной области, так как происходит апериодическая разрядка конденсатора.
Так как ток , то максимум кривой тока и точка перегиба кривой напряжения имеют место в один и тот же момент времени (рисунок 10, а), б), а кривая в этот момент времени меняет знак, что следует из соотношения (рисунок 10, в). Время можно найти, приравнивая нулю производную . Напряжение на индуктивном элементе возникает скачком, принимая в начальный момент значение , затем уменьшается по абсолютному значению, проходит через нуль при равенстве экспонент и, став положительным, возрастает до некоторого максимального значения, после которого, уменьшаясь, стремится к нулю.
Следует отметить, что, согласно (37), увеличение индуктивности приводит к уменьшению абсолютных значений и и, как следствие, к замедлению возрастания тока и спада напряжения на емкостном элементе .