2.4. Многоканальная смо с отказами

Рассмотрим п - канальную СМО с отказами. Будем нумеровать состояния системы по числу занятых каналов (или, что в данном случае то же, по числу заявок, связанных с систе­мой). Состояния будут:

S₀ - все каналы свободны,

S₁- занят ровно один канал, остальные свободны,

....................................................................................

S_k - заняты ровно к каналов, остальные свободны,

......................................................................................

S_n - заняты ровно п каналов.

Граф состояний СМО представлен на рис.22. Разметим граф, т.е. проставим у стрелок интенсивности соответствую­щих потоков событий. По стрелкам слева направо систему переводит один и тот же поток - поток заявок с интенсивно­стью λ . Если система находится в состоянии S_k (заняты к каналов) и пришла новая заявка, система переходит (переска­кивает) в состояние S_k+1 .

Определим интенсивности потоков событий, перево­дящих систему по стрелкам справа налево.

Пусть система находится в состоянии S₁ (занят один канал). Тогда, как только закончится обслуживание заявки, занимающей этот канал, система перейдет в S₀; значит, поток событий, переводящий систему по стрелке S_] - S₀, имеет интенсивность µ . Очевидно, если обслуживанием занято два канала, а не один поток обслуживании, переводящий систему по стрелке , будет вдвое интенсивнее (2µ); если занято к каналов - в к раз интенсивнее (кµ). Проставим со­ответствующее интенсивности у стрелок, ведущих справа на­лево.

На рис.22 видно, что процесс, протекающий в СМО, представляет собой частный случай процесса гибели и раз­множения.

П ользуясь общими правилами, можно составить урав­нения Колмогорова для вероятностей состояний:

(2.11)

Естественными начальными условиями для их реше­ния являются:

P₀(0)=1, P₁(0)=P₂(0)=...=P_n(0)=0

( в начальный момент система свободна).

Интегрирование системы уравнений (2.11) в аналити­ческом виде довольно сложно; на практике такие системы дифференциальных уравнений обычно решаются численно на ЭВМ. Такое решение дает нам все вероятности состояний

P₀(t),P₁(t),...,P_k{t),...,P_n(t)

как функции времени.

Естественно, нас больше всего будут интересовать предельные вероятности состояний

P₀ , Р₁,..., Р_k,..., Р_п,

характеризующие установившийся режим работы СМО (при ). Для нахождения предельных вероятностей воспользуемся уже готовым решением задачи, полученным для схемы гибели и размножения в 1.5. Согласно этому решению,

(2.12)

В этих формулах интенсивности потока заявок и ин­тенсивность потока обслуживании (для одного канала) µ не фигурируют по отдельности, а входят только своим отношени­ем . Обозначим это отношение

и будем называть величину ρ приведенной интенсивностью потока заявок. Физический смысл ее таков: величина р пред­ставляет собой среднее время обслуживания одной заявки.

С учетом этого обозначения, формулы (2.12) примут вид:

(2.13)

Формулы (2.13) называются формулами Эрланга.

Они выражают предельные вероятности всех состояний систе­мы в зависимости от параметров λ, µ и n. Зная все вероятности состояний

P₀, P₁,...,P_n

можно найти характеристики эффективности СМО: относи­тельную пропускную способность q , абсолютную пропускную способность А и вероятность отказа Р_отк.

Действительно, заявка получает отказ, если приходит в тот момент, когда все n каналов заняты. Вероятность этого равна

(2.14)

Вероятность того, что заявка будет принята к обслу­живанию (она же относительная пропускная способность q) дополняет Р_отк до единицы:

q = 1-P_отк=1-P_n (2.15)

Абсолютная пропускная способность:

A =λ=λ(1-P_n) . (2.16)

Одной из важных характеристик СМО с отказами яв­ляется среднее число занятых каналов (в данном случае оно совпадает со средним числом заявок, находящихся в системе).

Обозначим это среднее число .

Величину можно вычислить непосредственно через вероятности P₀, P₁,...,P_n по формуле:

(2.17)

как математическое ожидание дискретной случайной величи­ны, принимающей значения 0,1,...,n с вероятностями

P₀, P₁,...,P_n. Однако значительно проще выразить среднее число занятых каналов через абсолютную пропускную способ­ность А. Действительно, А есть не что иное, как среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени; один занятый канал обслуживает в среднем за единицу времени µ заявок; среднее число занятых каналов получится делением А на µ:

или, переходя к обозначениям ,

(2.18)

Пример. Повторяются условия примера предыдущего параграфа (λ = 0,8 , µ = 0,667), однако вместо одноканальной СМО (п = 1) рассматривается трехканальная СМО (п = 3), т.е. число линий связи увеличено до трех. Найти ве­роятности состояний, абсолютную и относительную пропуск­ную способности, вероятность отказа и среднее число занятых каналов.

Решение. Приведенная интенсивность потока заявок:

По формулам Эрланга (2.13) получаем

Вероятность отказа равна:

P_отк=P₃=0,090

Относительная и абсолютная пропускные способности равны:

Среднее число занятых каналов:

т.е. при установившемся режиме работы СМО в среднем будет занят один с небольшим канал из трех - остальные два будут простаивать. Этой ценой добывается сравнительно высокий уровень эффективности обслуживания - около 91% всех по­ступивших вызовов будет обслужено.