2.8. Многоканальная смо с ожиданием
(число мест в очереди не ограничено)
В параграфе 2.7 рассмотрели п - канальную СМО с ожиданием, когда в очереди одновременно могут находиться не более т заявок.
Так же, как и в параграфе 2.6, посмотрим, что будет, если длина очереди не ограничена каким-то числом т, а может быть сколь угодно большой. Граф состояний в этом случае - бесконечный (см. рис.26).
Вероятности состояний
получим из формул (2.37) предельным
переходом при т
.
Заметим, что сумма соответствующей
геометрической прогрессии сходится
при
и расходится при χ≥
1 . Соответственно, установившийся режим
будет существовать при χ
< 1, а при χ
≥1 очередь будет
бесконечно возрастать. Допустим, что χ
< 1 и устремим в
формуле (2.38) величину т
к бесконечности.
Получим выражения для предельных
вероятностей состояний:
(2.47)
Так как каждая заявка рано или поздно будет обслужена, то характеристики пропускной способности СМО равны
Pотк=0, q=1,A= λq=λ.
Среднее число заявок в очереди получим при т из (2.44):
(2.48)
а среднее время ожидания - из (2.46)
(2.49)
Среднее число занятых каналов найдется по-прежнему через абсолютную пропускную способность:
(2.50)
а среднее число заявок, связанных с СМО - как среднее число заявок в очереди плюс среднее число заявок, находящихся под обслуживанием (среднее число занятых каналов):
.
(2.51)
Пример. Автозаправочная станция с двумя колонками (n = 2) обслуживает поток машин, прибывающих с интенсивностью λ= 0,8 (машин в минуту). Среднее время обслуживания одной машины
В данном районе нет другой АЗС, так что очередь машин перед АЗС может расти практически неограниченно. Найти характеристики СМО:
- среднее число занятых каналов, вероятность отсутствия очереди у АЗС,
- среднее число машин в очереди, среднее число машин у АЗС,
- среднее время ожидания в очереди,
- среднее время пребывания машины на АЗС.
Решение.
Имеем п
=
2
;
λ
=
0,8 ;
Поскольку χ < 1, очередь не растет безгранично и имеет смысл говорить о предельном стационарном режиме работы СМО. По формулам (2.47) находим вероятности состояний:
и т.д.
Среднее число занятых каналов найдем, разделив абсолютную пропускную способность СМО A =λ=0,8 на интенсивность обслуживания µ = 0,5:
Вероятность отсутствия очереди у АЗС будет:
Среднее число машин в очереди:
Среднее число машин на АЗС:
Среднее время ожидания в очереди:
Среднее время пребывания машины на АЗС:
