5.3. Нормативные модели поддержки принятия решений с векторным показателем качества

Чаще всего на практике оценивание любого варианта решения единственным числом оказывается неприемлемым упрощением. Более полное рассмотрение альтернатив приводит к необходимости оценивать их не по одному, а по нескольким различным показателям.

Если для оценивания альтернативных вариантов решений j используется несколько показателей то отображение (5.1.6) принимает вид

, (5.3.1)

Для формализации задачи выбора решения в виде модели оптимизации скалярного показателя качества можно попытаться свести совокупность этих показателей к некоторому обобщенному показателю, т.е. скалярной функции векторного аргумента:

(5.3.2)

где - множество вариантов решения,

- количество частных показателей, характеризующих отдельные свойства исследуемого варианта решения,

Обобщенный показатель позволяет упорядочить альтернативы по величине , выделив тем самым наилучшую (в смысле этого критерия).

Вид функции определяется тем, как мы представляем себе вклад каждого показателя в обобщенный показатель. Обычно используют функции аддитивного (5.3.3) или мультипликативного (5.3.4) вида:

; (5.3.3)

, (5.3.4)

где - максимально возможные значения показателей;

- коэффициенты относительной важности (весовые коэффициенты) соответствующих частных показателей.

Коэффициенты обеспечивают, во-первых, безразмерность показателя , так как частные показатели могут иметь разную размерность и, во-вторых, в необходимых случаях (как в формуле 5.3.4) выполнения условия .

Коэффициенты отражают относительный вклад частных показателей в обобщенный показатель.

при подходе задача выбора сводится к максимизации:

(5.3.5)

Очевидные достоинства объединения нескольких показателей в один обобщенный скалярный показатель сопровождаются рядом трудностей и недостатков, которые необходимо учитывать при использовании этого подхода. Главным недостатком этого подхода является неустойчивость оптимального решения и невозможность в большинстве случаев с помощью скалярного обобщенного показателя качества адекватно формализовать предпочтения принимающего решение субъекта.

Подход к формализации задачи выбора не требующий построения обобщенного скалярного показателя качества исходит из того, что формирование решений по выбору оптимального варианта решения формально может быть представлено в виде:

(5.3.6)

где – универсальное множество вариантов решений (альтернатив, проектов, планов) из которых осуществляется выбор;

- - множество альтернативных вариантов решений, предъявленных для выбора;

- – множество (векторная характеристика свойств рассматриваемых вариантов) показателей качества, характеризующее общесистемные, структурные и специальные свойства каждого отдельного варианта выбора;

- – множество эффективных решений (множество выбранных альтернатив);

- – критерий оптимальности, т.е. правило, определяющее как используя К выделить из множества альтернативных вариантов множество .

В зависимости от смысла задачи, для выбранных вариантов должны выполняться условия:

(5.3.7)

или

. (5.3.8)

Например, сравним два варианта инновационного проекта и . Будем считать, что чем меньше значение показателя, тем лучше вариант, при прочих равных условиях. Очевидно, если и хотя бы для одного значения это неравенство строгое, то вариант предпочтительнее варианта . Говорят, что доминирует над по векторному показателю качества. Таким образом, вариант должен быть исключен из дальнейшего рассмотрения.

Следует учесть, что факторы, от которых зависят значения показателей качества решения можно разбить на три группы:

контролируемые (управляемые) факторы, выбор которых находится в распоряжении оперирующей стороны (разработчика проекта решения);

частично контролируемые (частично управляемые) факторы, выбор которых находится в распоряжении оперирующей стороны, но только в виде диапазона допустимого изменения;

неконтролируемые (неуправляемые) факторы, на которые оперирующая сторона влиять не может. В состав неконтролируемых факторов может входить и время, если в операции участвуют динамические объекты, изменяющие свои свойства и поведение во времени, в том числе и экспертное представления показателей системы.

Неконтролируемые факторы в зависимости от информированности о них разработчика проекта решения можно разбить на три группы:

детерминированные факторы - неслучайные фиксированные факторы, или неслучайные величины, значения которых полностью известны оперирующей стороне до начала реализации решения;

стохастические факторы - случайные фиксированные факторы, или случайные величины, и процессы с известными оперирующей стороне законами распределения;

неопределенные факторы, для каждого из которых известна только область возможных значений фактора или область, внутри которой находится закон распределения, если фактор случаен.

В соответствии с выделенными группами факторов показатель качества К можно представить в виде зависимости [81, 82]:

, (5.3.9),

где - контролируемые факторы;

- частично контролируемые факторы;

- неконтролируемые детерминированные факторы;

- неконтролируемые стохастические факторы;

- неконтролируемые неопределенные факторы.

Величины в общем случае могут быть массивами любой размерности: скалярами, векторами, матрицами и т.д.

Для решения задач выбора альтернатив с векторными показателями качества наиболее часто используются следующие методы.

1. Метод Парето. Этот метод используется при отсутствии градации установленных показателей качества по важности [4]. Выбор осуществляется на основе порядкового отношения (критерия) следующего вида:

. (5.3.10)

Согласно теории В. Парето (1848-1923), именем которого и названо множество эффективных решений, предпочтение одной альтернативе перед другой следует отдавать, только если первая по всем показателям лучше второй. Если же предпочтение хотя бы по одному показателю расходится с предпочтением по другому, то такие альтернативы признаются несравнимыми. В результате попарного сравнения альтернатив все худшие по всем показателям отбрасываются, а все оставшиеся несравнимые принимаются и образуют множество компромиссных решений или множество Парето.

Если все максимально достижимые значения частных показателей относятся к одной и той же альтернативе, то множество Парето будет состоять из одной альтернативы, выбор на этом заканчивается.

Таким образом в качестве критерия оптимальности в методе Парето рассматривается правило согласно которому в множество выбранных (множество Парето) включаются варианты , векторные оценки которых не доминируются по отношению векторными оценками вариантов .

2. Методы выбора с упорядоченными показателями качества. Этот класс составляют методы: Черчмена-Акофа, Терстоуна, Неймана-Моргенштерна и др. [5, 6, 7]. Их особенность состоит в том, что показатели качества нумеруются в порядке убывания важности и превосходство по предыдущему показателю ценится выше. Выбор осуществляется на основе некоторого порядкового отношения следующего вида:

. (5.3.11)

3. Лексикографические методы. В методах выбора относящихся к классу лексикографических или аксиоматических (например, методах «жесткого» приоритета, «последовательных уступок», ELECTRE, ELECTRE 2 и т.д. [5,6,7] показатели качества упорядочиваются таким образом, что каждый предыдущий показатель качества существенно важнее последующих. Выбор осуществляется на основе порядкового отношения :

. (5.3.12)

4. Мажоритарный метод. Этот метод используется при равноценных показателях качества [6, 23, 101]. Выбор производится на основе критерия :

. (5.3.13)

5. Метод выбора с доминирующим показателем. Особенность метода состоит в том, что один из показателей качества, например, является главным, а остальные дополнительными [5,6,7]. Вариант считается лучшим (выбирается) в том случае, если он имеет наибольшее значение главного показателя, либо превосходит по некоторым дополнительным показателям варианты, которые лучше его по главному, то есть:

(5.3.14)

6. Ранговый метод выбора. В ранговом методе выбора лучший вариант определяется по сумме рангов [4, 5, 23, 97]. Рангом -го варианта по -му показателю качества называется величина:

, (5.3.15)

где - означает мощность множества.

Выбираются варианты с минимальной суммой рангов

, (5.3.16)

7. Метод анализа иерархий (МАИ). Данный метод предназначен для решения задач выбора с конечным множеством возможных векторов показателей качества. Его применение основано на экспертной информации об относительной важности показателей в виде матрицы парных сравнений. Этот метод был предложен американским математиком Т. Саати в 1972 г.

Сущность решения данным методом заключается в поэтапном установлении приоритетов. На первом этапе выявляются наиболее важные элементы проблемы, на втором – наилучший способ проверки наблюдении и оценки проектов решения по выбранным показателям, на заключительном этапе осуществляется выбор варианта решения и оценка его качества.

Впоследствии МАИ оформился в целый раздел принятия решений при наличии нескольких показателей. В настоящее время он прочно вошел в теорию и практику решения задач выбора.

Основным недостатком, ограничивающим возможность практического применения рассмотренных выше методов для решения задачи выбора оптимального варианта решения, является то, что они не позволяют адекватно учитывать всю полноту имеющейся разнородной (структурированной, частично структурированной, не структурированной) информации о ситуации принятия решения. Существенную роль это играет, например, на ранних стадиях выбора и оценки инновационных проектов.

Перечисленные методы выбора позволяют адекватно отразить в модели решения лишь отдельные факторы, что в свою очередь приводит к безвозвратной потере информации других типов. По мнению известного специалиста в области системного анализа Р.М. Юсупова: «… Даже в самых эффективных организациях используется лишь 30% имеющейся полезной информации по профилю деятельности. Поэтому одна из проблем ХХI века – избыток не структурированной информации, т.е. информации, не превращенной в знания…». Последнее достаточно остро ставит проблему адекватного преобразования и нормализации исходной информации на основе, которой принимаются решения.

Еще одним концептуальным недостатком рассмотренных подходов к решению задачи выбора является излишний субъективизм принятия решения. В представленных выше методах выбор лучшего варианта осуществляется путем определения отношения предпочтения одного показателя качества над другим (т.е. определение того, что один альтернативный вариант лучше (хуже) другого по рассматриваемому показателю), далее каким бы то ни было субъективным, как правило, экспертным методом вводятся коэффициенты важности показателей и уже с ними в дальнейшем производятся различные вычисления. Однако информация о том, насколько один вариант лучше (хуже) другого по рассматриваемому показателю качества теряется. Кроме того, при разработке реальных проектов решений встречаются ситуации (являющиеся, скорее, правилом, чем исключением), когда у лица, принимающего (ЛПР) решения вообще нет четкого представления о предпочтениях между всеми или некоторыми из альтернативных вариантов. Поэтому теория построения нормативных моделей и методов поддержки принятия решений с векторным показателем качества еще далека от завершения.