- •Лекція № 15. Поверхні іі порядку. Циліндричні і конічні поверхні. Прямолінійні твірні поверхонь іі порядку.
- •Циліндричні поверхні
- •Приклади.
- •Конічні поверхні
- •Прямолінійні твірні на поверхні однопорожнинного гіперболоїда
- •1. Через кожну точку однопорожнинного гіперболоїда проходить одна і тільки одна твірна з кожної сім'ї.
- •2. Будь-які дві твірні однієї сім'ї не перетинаються і не паралельні, тобто є мимобіжними.
- •3. Довільні дві твірні різних сімей перетинаються або паралельні.
- •Прямолінійні твірні гіперболічного параболоїда
Конічні поверхні
Означення 5.1. Поверхня, утворена внаслідок руху прямої, яка проходить через дану точку M0 і перетинає дану криву L, називається конічною поверхнею або конусом. При цьому задана точка називається вершиною конічної поверхні, крива L - напрямною кривою. Прямі, які повністю лежать на поверхні конуса, проходять через його вершину і перетинають напрямну криву, називаються твірними конуса (рис. 13).
З цього означення випливає, що поверхня буде конусом з вершиною в точці М0 тоді і тільки тоді, коли разом з деякою точкою М цій поверхні належать усі точки прямої М0М.
Означення 5.2. Функція F(x; y; z) називається однорідною, якщо для довільного t ≠ 0 виконується умова F(tx; ty; tz) = φ(t)F(x; y; z).
Наприклад, F(x; у; z) = xy3 + x4 – x2 z2 - однорідна функція, бо
F(tx; ty; tz) = tx • t3 y3 + t4 x4 – t2 x2 • t2 z2 = = t4 (xy3 + x4 – x2 z2) = t4 F(x; y; z).
Припустимо тепер, що прямокутна система координат вибрана так, що її початок збігається з вершиною конічної Рис.13 поверхні.
Т еорема 3. Якщо F(x; у; z) - однорідна функція, а рівняння
F(x;y;z) = 0 (13)
задає деяку поверхню σ в просторі, то це буде конічна поверхня з вершиною в початку координат.
Доведення. Нехай М(х; у; z) - довільна точка цієї поверхні, а М1 (x1 ;y1 ; z1 ) - довільна точка, яка лежить на прямій ОМ (рис. 14). Покажемо, що точка M1 також належить даній поверхні. М є σ, тому F(x; у; z) = 0.
Рис.14
Розглянемо вектори
ОМ (х; у; z) і ОМ1 (х1; y1; z1). Оскільки ОМ || ОМ1 ,
то звідки x1=tx, y1=ty, z1=tz.
Тоді F(x1; y1; z1 ) = F(tx; ty; tz) = φ(t)F(x; y; z) = 0, оскільки F(x; y; z) = 0.
Таким чином, разом з точкою М даній поверхні належить і точка M1 , що лежить на прямій ОМ. Звідси випливає, що рівняння (13) є рівнянням конічної поверхні з вершиною в початку координат. Теорему доведено. ■
Будемо розглядати тепер конічні поверхні другого порядку. З доведеної теореми випливає, що загальне рівняння конічної поверхні другого порядку має вигляд:
a11x2 + a22y2 +a33z2 + 2a12xy +2a13xz + 2a23yz = 0. (14)
Пізніше буде встановлено, що за допомогою перетворення системи координат у рівнянні (14) можна позбутися добутків змінних, тобто рівняння (14) може бути зведене до вигляду
a11x2 + a22y2 + a33z2 = 0, або, якщо a11 a22 a33 ≠ 0, до вигляду
(15)
Якщо всі числа а11, а22, а33 одного знаку, то це рівняння задає деяку уявну поверхню з однією дійсною точкою (0; 0; 0). її називають уявним конусом.
Припустимо, що серед цих чисел є числа різного знаку. Нехай, наприклад, а11 > 0, a22> 0, а33 < 0. Тоді, ввівши відповідні позначення, рівняння (15) можна записати у вигляді
(16)
Це рівняння називається канонічним рівнянням конуса. З нього випливають такі його властивості:
1. Конус симетричний відносно координатних площин, координатних осей і початку координат, бо всі змінні входять у його рівняння в парних степенях.
2. Якщо цей конус перетнути площиною z =h, паралельною до площини OXY, то в перерізі утвориться крива, проекція якої на площину OXY має рівняння
Або
Це є рівняння еліпса.
Отже, напрямною кривою даного конуса є еліпс. При зростанні абсолютної величини h розміри еліпса збільшуються. Вісь OZ у цьому випадку називається віссю конуса (рис. 15).
Якщо віссю конуса є вісь OY, то рівняння конічної поверхні другого порядку таке:
Якщо ж віссю конуса є вісь ОХ, то його рівняння буде
Н а прикладі покажемо, як знаходити рівняння довільної конічної поверхні, якщо відомі її вершина і напрямна крива.
Приклад. Скласти рівняння конічної поверхні з вершиною у точці М0 (l; 0; 1) і напрямною L, що лежить у площині OXY і задається рівнянням
x2 + y2 – y = 0.
Розв'язання. Через довільну точку М(х; у; z) конічної поверхні проведемо твірну М0М (рис. 16). Вона перетне напрямну в деякій точці М'(х'; у'; z'). М' є L, тому
Рис. 15
Запишемо рівняння твірної конуса за двома точками М0 (1; 0; 1) і М'(x'; у'; 0):
З мінні х, у, z у цьому рівнянні є координатами точок твірної, а отже, і точок конічної поверхні. Складемо систему рівнянь і вилучимо з неї x', у', z':
Рис.16
Із останнього рівняння маємо:
(z-x)2 + y2 + y(z-1) = 0
Це і є рівняння шуканої конічної поверхні.