- •Лекція № 15. Поверхні іі порядку. Циліндричні і конічні поверхні. Прямолінійні твірні поверхонь іі порядку.
- •Циліндричні поверхні
- •Приклади.
- •Конічні поверхні
- •Прямолінійні твірні на поверхні однопорожнинного гіперболоїда
- •1. Через кожну точку однопорожнинного гіперболоїда проходить одна і тільки одна твірна з кожної сім'ї.
- •2. Будь-які дві твірні однієї сім'ї не перетинаються і не паралельні, тобто є мимобіжними.
- •3. Довільні дві твірні різних сімей перетинаються або паралельні.
- •Прямолінійні твірні гіперболічного параболоїда
2. Будь-які дві твірні однієї сім'ї не перетинаються і не паралельні, тобто є мимобіжними.
Доведення. Дійсно, ці прямі не можуть перетинатися, бо інакше через точку їх перетину проходило б дві твірні однієї сім'ї, що суперечить властивості 1.
Ці прямі не можуть бути і паралельними. Щоб переконатися в цьому, покажемо, що напрямні вектори прямих (32) при різних значеннях параметра Х1 і λ2 (λг і λ2) неколінеарні.
Знайдемо координати напрямного вектора прямої (32). Перепишемо систему (32) у вигляді:
Напрямним вектором даної прямої є
Напрямні вектори двох прямих із цієї сім'ї, що відповідають параметрам λ1 і λ2, такі:
Перевіримо, чи можуть бути вони колінеарними. Прирівнявши відношення відповідних координат, матимемо:
Звідки:
Ця система сумісна, якщо λ1 = λ2. Отже, || р2 тоді і тільки тоді, коли λ1 = λ2. Якщо ж λ1 ≠ λ2 то || р2 .Це і доводить, що прямі не
паралельні. Отже, вони мимобіжні. Аналогічно розглядаються і прямолінійні твірні другої сім'ї (33).
3. Довільні дві твірні різних сімей перетинаються або паралельні.
Доведення. Розглянемо дві довільні твірні з різних сімей, при цьому нехай твірній із першої сім'ї відповідає параметр λ1, а з другої - λ2. Щоб з'ясувати питання про перетин цих прямих, необхідно дослідити систему рівнянь
О скільки одне з рівнянь системи є наслідком трьох інших (наприклад, 4-те рівняння утворюється внаслідок почленного множення перших двох і ділення на відповідні частини третього рівняння), то І дослідимо систему з трьох перших рівнянь:
або
Визначник цієї системи
Якщо λ1 ≠ λ2, то Δ≠0, Таким чином, система має єдиний розв'язок, а отже, прямі перетинаються.
Якщо λ1 = -λ2, то Δ=0, а самі прямі паралельні.
Зауважимо, що, крім названих сімей прямолінійних твірних (32) і (33), є ще чотири прямі, які лежать у площинах, паралельних до координатної площини OXZ, і повністю належать однопорожнинному гіперболоїду. Це такі прямі:
Вони разом із сім'ями (32) і (33)визначають усі рямі, що повністю лежать на однопорожнинному гіперболоїді.
Таким чином, однопорожнинний гіперболоїд є лінійчатою поверхнею (рис.30). Ця властивість широко використовується в будівельній техніці. Відомий російський інженер Володимир Григорович Шухов запропонував конструкцію з металевих балок, розміщених так, як прямолінійні твірні однопорожнинного гіперболоїда обертання. Ці конструкції виявилися дуже міцними і легкими. Вони часто використовуються при будівництві водонапірних башт, високих радіо-і телещогл.
Прямолінійні твірні гіперболічного параболоїда
Розглянемо гіперболічний параболоїд, заданий канонічним рівнянням
(27)
Перетворимо це рівняння так:
Розглянемо дві системи рівнянь:
і
Ці системи визначають рівняння прямих, які повністю лежать на гіперболічному параболоїді, бо якщо перемножити відповідні частини рівнянь однієї системи, то одержимо рівняння (27) при довільному Я, відмінному від нуля.
Аналогічно, як і для однопорожнинного гіперболоїда, крім записаних, є ще дві прямі, які також повністю належать гіперболічному параболоїду. Це такі прямі:
і
Всі ці прямі називаються прямолінійними твірними гіперболічного параболоїда. Вони мають такі ж властивості, як і прямолінійні твірні однопорожнинного гіперболоїда:
Рис. 31
Через довільну точку гіперболічного параболоїда проходить одна і тільки одна твірна з кожної сім'ї.Будь-які дві твірні однієї сім'ї є мимобіжними.
Будь-які дві твірні різних сімей перетинаються або паралельні.
Пропонуємо довести ці властивості самостійно. Таким чином, гіперболічний параболоїд також є лінійчатою поверхнею (рис. 31).
М ожна показати, що однопорожнинний гіперболоїд утворюється рухом прямої, яка ковзає по трьох мимобіжних прямих. Аналогічно гіперболічний параболоїд можна утворити рухом прямої, яка ковзає по двох мимобіжних прямих і залишається при ньому весь час паралельною заданій площині. Природно виникає запитання: чи мають прямолінійні твірні такі поверхні другого порядку, як еліпсоїд, двопорожнинний гіперболоїд і еліптичний параболоїд? Відповідь проста: ні. Покажемо це на прикладі еліпсоїда. Як було встановлено, еліпсоїд лежить всередині деякого прямокутного паралелепіпеда, тобто є обмеженою поверхнею. Але кожна пряма є необмеженою лінією, а тому не може повністю лежати на еліпсоїді. Приклад. На гіперболічному параболоїді знайти прямолінійні твірні, паралельні до площини 3x+2y-4z. Розв'язання. Запишемо рівняння двох сімей прямолінійних твірних даного гіперболічного параболоїда:
(36)
(37)
Знайдемо координати напрямних векторів прямих із сім'ї (36):
Координати напрямних векторів прямих (37):
Вектор паралельний до площини 3х + 2у — 4z = 0,
якщо 2 • 3 + 1 • 2 + λ• (-4) - 0, звідки λ = 2. Тоді прямою із сім'ї (36), паралельною до даної площини, є пряма
з напрямним вектором
Точка М1(4; -2; 0) належить цій прямій. Тому її канонічне рівняння
Вектор паралельний до даної площини, якщо 2 • 3 -1 • 2+λ · (-4)=0, звідки λ= 1. Тому . Рівняння другої прямої:
Цій прямій належить точка М2(2; 1; 0), тому її канонічне рівняння
Відповідь. і .