Прямолінійні твірні на поверхні однопорожнинного гіперболоїда

Розглянемо однопорожнинний гіперболоїд, заданий канонічним рівнянням

(19)

Перетворимо це рівняння таким чином:

(31)

Розглянемо тепер дві сім'ї прямих, заданих системами рівнянь

(32)

(33)

де , - довільне дійсне число, відмінне від нуля.

Кожна з цих прямих повністю лежить на поверхні (19). Дійсно, якщо координати деякої точки задовольняють систему (32), то, перемноживши рівності цієї системи, одержимо рівняння (31), а, отже, і рівняння (19). Таким чином, довільна точка прямої (32) лежить на поверхні (19).

Аналогічно і будь-яка точка прямої (33) лежить на поверхні (19).

Таким чином, сім'ї прямих (32), (33) повністю лежать на однопорожнинному гіперболоїді. Вони називаються прямолінійними твірними цього гіперболоїда.

Ці твірні мають такі властивості:

1. Через кожну точку однопорожнинного гіперболоїда проходить одна і тільки одна твірна з кожної сім'ї.

Доведення. Нехай (х₀; у₀; z₀) - координати деякої точки однопорожнинного гіперболоїда» тоді

звідки

(34)

Виберемо тепер параметр λ так, щоб ця точка належала першій з площин (32). Для цього розв'яжемо рівняння

(35)

Поділивши почленно (34) на (35), дістанемо

(36)

Отже, дана точка належить і другій площині (32). Таким чи­ном, яка б не була точка (х₀; у₀; z₀), що лежить на однопорожнинному гіперболоїді, параметр  завжди можна вибрати так, щоб координати точки задовольняли систему (32). Причому цей параметр визнача­ється із рівняння (35) однозначно.

Отже, через кожну точку однопорожнинного гіперболоїда прохо­дить єдина пряма із першої сім'ї.

Аналогічно доводиться це твердження і для другої сім'ї твірних.