7.Алгебра множин.

Алгебра множин широко застосовується у програмуванні, зокрема, при роботі з різноманітними базами даних і становить основу для побудови багатьох математичних структур. Клас множини cr називається алгеброю (множин), якщо: Ucr; з А, В  cr виходить AB  cr; з А, В  cr виходить A\B  cr. Пріоритет операцій в алгебрі множин такий: А, АВ, АВ, А\В. (див. пит. 3 – властивості опер. над множинами.)

8.Узагальнення операцій над множинами.

Із властивостей комутативності й асоціативності операцій об’єднання випливає, що об’єднання кількох множин можна виконати, послідовно об’єднуючи їх, причому порядок входження множин не впливає на результат, наприклад А₁А₂...А_n= A_i. Сукупність множин A₁,A₂,..A_n називається розбиттям множини A, якщо об’єднання всіх цих множин співпадає з множиною A.

9.Декартовий добуток множин

П рямим (або декартовим) добутком множин А і В називається множина всіх упорядкованих пар елементів а та b, з яких перший належить множині А, а другий – множині В (позначається A x B):

Декартовий добуток добутативний. AxBBxA(тобто не комутативний). Результатом добутку n – множин є впорядкована послідовність n – елементів, яка називається картежем (вектором довжиною n).

Операція днкартового добутку може бути узагальнена: А1хА2хА3х…хAn = П (от і=1 до n) Aі (П - добуток).

Декарт.добуток не асоціативний, але дистрибутивний: 1) (A1 u A2)x A3=(A1 x A3)u(A2 x A3) 2) (A1 ∩ A2)x A3=(A1 x A3) ∩(A2 x A3) 3) (A1-A2)x A3 = (A1 x A3)-(A2 x A3)

10.Еквівалентність множин.

Якщо кожному елементу множини А вспівставлений єдиний елемент множини В, і при цьому всякий елемент множини В зіставлений одному і тільки одному елементу множини А, то між множинами А і В існує взаємно однозначна відповідність (бієкція). Множини А і В називаються еквівалентними або рівнопотужними. Властивість еквівалентності є транзитивною.(якщо А~В, а В~С, то А~С) Дві скінченні множини будуть еквівалентні тоді і тільки тоді, коли кількість їх елементів однакова.

11.Поняття потужності множини.

Потужність – к-ть ел. даної множини. Позначається - А. Еквівалентним одна одній виявляються всі скінченні множини з однаковим числом елементів n, і число n вважається потужністю цих множин. Для нескінченної множини строге поняття потужності не вводиться, але сам термін “потужність” використовується для позначення властивості, загальної для всіх еквівалентних множин. Якщо дві нескінченні потужності А і В еквівалентні (А~В). В загальному випадку потужність об’єднання n – множин виражається у наступному вигляді:

А₁А₂...А_n=A₁+A₂+A₃+...+A_n-A₁A₂-A₁A₃-…-A_n-1A_n+…+(-1)^n-1A₁A₂…A_n

12.Зчисленні та незчисленні множини.

Множина А називається зчисленною, якщо вона еквівалентна множині натурального ряду. Її елементи можна пронумерувати. Термін “зчисленність” є точним замінником інтуїтивного поняття – “дискретність”. Ознаки зчисленності множин:1)усяка нескінченна підмножина зчисленної множини зчислена; 2)об’єднання кінцевої сукупності зчислених множин - зчислена; 3)множина всіх раціональних чисел виду p/q (p,q Z) - зчисленна; 4) якщо дані множини зчисленні, то множина всіх пар також зчисленна 5) Множина всіх багаточленів будь-яких ступенів з раціональними коефіцієнтами a₀ …a_n – зчисленна. Множина, елементи якої пронумеровати не можна, назив. незчисленною(Напр., множина всіх точок відрізка [0,1] незчисленна (т. Кантора)).