Б. Уравнение регрессии второго порядка

1. Квадратичная модель: однофакторное ортогонализированное уравнение регрессии второго порядка, в котором все три нормированных фактора: ортогональны, имеет следующий вид:

. (29)

2. Коэффициент для ортогонализации квадратичного фактора :

. (30)

3. Матрица планирования с числом опытов N и числом дублей n в каждом опыте для построения однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка такая же, как и для построения однофакторного уравнения регрессии первого порядка. Так как для построения однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка используются те же экспериментальные данные, то параметры одинаковы для обоих типов уравнений. Кроме того, так как факторы Х₀, Х₁ и ( ) ортогональны, то это позволяет рассчитать коэффициенты уравнения регрессии и дисперсии их значимости независимо друг от друга. Следовательно, уже рассчитанные параметры без всяких изменений переносятся в однофакторное ортогонализированное уравнения регрессии второго порядка. Поэтому для окончательного построения однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка следует рассчитать только те параметры, которые связаны с коэффициентом регрессии b₁₁.

4. Матрица моделирования для построения однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка отличается от матрицы моделирования для построения однофакторного уравнения регрессии первого порядка. Вводится столбец квадратичного фактора . Таблица матрицы моделирования в этом случае состоит из N опытов и включает в себя столбцы: N, , , , , , , , , значения которых позволяют провести окончательную обработку экспериментальных данных (расчёт квадратичного коэффициента уравнения регрессии и проверка его на значимость, проверка уравнения регрессии на адекватность, расчёт абсолютной погрешности и оптимизация в случае адекватности уравнения регрессии).

4.1. Квадратичный коэффициент b₁₁ рассчитывается по формуле:

. (31)

4.2. Дисперсия значимости коэффициента b₁₁ рассчитывается по формуле:

. (32)

4.3. Доверительный интервал коэффициента b₁₁ рассчитывается критерию Стьюдента:

, (33)

где  ‑ табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы и доверительной вероятности р находится из таблицы Приложения 2.

4.4. Коэффициент b₁₁ однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка значим, если:

. (34)

4.5. Дисперсия адекватности однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка и её число степеней свободы рассчитываются по формулам:

, (35)

, (36)

где n – число дублей в каждом опыте;  ‑ остаточная сумма квадратов;  ‑ значение параметра Y, рассчитанное по однофакторному ортогонализированному уравнению регрессии второго порядка , в котором оставлены только значимые коэффициенты ( ); N ‑ число опытов; В – число значимых коэффициентов однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка.

4.6. Адекватность однофакторного ортогонализированное уравнение регрессии второго порядка проверяется по критерию Фишера, точно так же, как и адекватность однофакторного уравнения регрессии первого порядка (см. уравнения (24) – (26)).

5. Предельная абсолютная погрешность Y(Х₁) параметра Y(Х₁), рассчитанного по однофакторному ортогонализированному уравнению регрессии второго порядка , в случае его адекватности, определяется по формуле:

, (37)

где  ‑ табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы и доверительной вероятности р находится из таблицы Приложения 2.

6. Параметр Y, описываемый однофакторным ортогонализированным уравнением регрессии второго порядка, всегда имеет экстремум: максимум, если , или минимум, если . Необходимое условие максимума (минимума) – равенство нулю первой производной :

; откуда . (38)

Натуральное значение фактора х_1 опт рассчитывают по уравнению (см. уравнение (3)):

. (39)

Максимум (минимум) параметра Y(Х_1 опт) рассчитывается по формуле:

. (40)

Предельная абсолютная погрешность рассчитывается по формуле (см. уравнение (35):

. (41)

6. Если полученное однофакторное ортогонализированное уравнение регрессии второго порядка неадекватно, следует перейти к построению однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии третьего порядка.