Типовая задача

Цель задачи: Освоить методы моделирования и оптимизации однофакторных стохастических систем.

Формулировка задачи. Условия задачи полностью совпадают с условиями типовой задачи раздела А. Так как для построения однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка используются те же самые экспериментальные данные, которые были использованы для построения однофакторного уравнения регрессии первого порядка (та же матрица моделирования, с тем же количеством опытов и числом их дублей ), то рассчитанные параметры остаются теми же самыми. Кроме того, так как факторы Х₀, Х₁ и ортогональны, то параметры однофакторного уравнения регрессии первого порядка остаются такими же и для однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка (см. раздел Б, п. 3 ). Поэтому план решения задачи для построения однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка будет содержать только пункты, связанные с расчётом дополнительных параметров, обусловленных появлением ортогонализированного квадратичного члена .

План решения задачи.

1. Внимательно прочитать условия задачи.

2. Создать матрицу моделирования для построения однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка и рассчитать коэффициент .

3. Произвести статистическую оценку качества полученного однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка.

4. Провести оптимизацию изучаемого объекта.

5. По результатам моделирования и оптимизации изучаемого объекта сделать окончательный вывод.

NB!!! Все предварительные расчёты проводить минимум до 4-х значащих цифр.

Решение задачи по плану.

1. Пункт выполнить самостоятельно.

2. Создадим матрицу моделирования для построения однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка (см. радел Б, п. 4) (результаты окончательных расчётов внесём в таблицу 5) Перенесем столбцы факторов , а также величины , , из таблицы 4 в таблицу 5.

2.1. Рассчитаем ортогонализирующий коэффициент для числа опытов (см. уравнение (30)):

.

2.2. Создадим столбец ортогонализированного многочлена ( ).

Например: .

2.3. Рассчитаем вспомогательную величину :

.

Таблица 5. ‑ Матрица моделирования для построения однофакторного

уравнения регрессии второго порядка и результаты обработки данных

N	X0j	X1j
1	1	– 1.0	0.50	74.10	74.10	– 74.10	37.05	73.92	0.0324
2	1	– 0.5	‑ 0.25	61.45	61.45	– 30.725	‑ 15.36	62.21	0.5776
3	1	0.0	‑ 0.50	57.00	57.00	0.00	‑ 28.50	55.87	1.2769
4	1	0.5	‑ 0.25	54.13	54.13	27.065	‑ 13.53	54.90	0.5929
5	1	1.0	0.50	59.48	59.48	59.48	29.74	59.30	0.0324
	5	2.5	0.875		306.2	‑ 18.28	9.394
Уравнение адекватно					61.2	‑ 7.3	10.7	,
					0.8	1.2	2.0

2.4. Образуем столбец и рассчитаем вспомогательную сумму .

.

2.5. Рассчитаем по уравнению (31) коэффициент для уравнения

.

3. Произведём статистическую оценку качества полученного однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка.

3.1. Проверим регрессионный коэффициент на значимость по критерию Стьюдента:

‑ рассчитаем дисперсию значимости (см. уравнение (32), (см. таблицу 3)):

,

.

‑ рассчитаем доверительный интервал коэффициента (см. уравнение (33)):

,

где  ‑ табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы и доверительной вероятности выбирается из таблицы Приложения 2.

Следовательно, коэффициент значим, так как (см. уравнение (34)):

Вывод: все три коэффициента ортогонализированного однофакторного уравнения регрессии второго порядка значимы. С учётом корректной записи результатов расчета : равно:

3.2. Проверим однофакторное уравнение регрессии второго порядка на адекватность по критерию Фишера:

‑ рассчитаем столбец параметра в каждом опыте. Например:

.

‑ рассчитаем значения столбца . Например: .

‑ рассчитаем остаточную сумму квадратов :

.

‑ рассчитаем дисперсию адекватности и её число степеней свободы f_ад (см. уравнения (35) – (36):

, .

‑ рассчитаем экспериментальное значение критерия Фишера (см. уравнение (24)):

, так как ;

‑ табличное значение критерия Фишера при ,  и доверительной вероятности р = 0.95 выберем из таблицы Приложения 4:

.

Вывод: однофакторное ортогонализированное уравнение регрессии второго порядка

,

адекватно, так как .

4. Проведем оптимизацию изучаемого объекта:

4.1. Параметр Y(Х₁) имеет минимум, так как . Рассчитаем о (см. уравнение (38)):

.

Оптимальное значение фактора равно (см. уравнение (39)):

.

4.2. Рассчитаем минимальное значение параметра Y_min (см. уравнение (40)):

.

4.3. Абсолютная и относительную погрешность параметра Y_min, значение которого рассчитывается по однофакторному ортогонализированному уравнению регрессии второго порядка ,(см. уравнение (41), , , ):

 кВтч/т.

.

С учетом корректной записи результатов расчета запишем значения :

.

5. Окончательный вывод. Однофакторное ортогонализированное уравнение регрессии второго порядка адекватно. Минимальные энергозатраты при сушке зерна достигаются при температуре воздуха .

Ответ: задача 4, вариант 30. Уравнение регрессии второго порядка.

1. Ортогонализированное однофакторное уравнение регрессии второго порядка

, кВтч/т.

0.8 1.2 2.0

, ; , ;

Однофакторное ортогонализированное уравнение регрессии второго порядка адекватно, так как:

.

2. Оптимальные параметры ,

, , .

Контрольные вопросы к задаче

1. Написать формулу для расчета ортогонализирующего коэффициента .

2. Написать формулы взаимосвязи нормированных Х₁ и натуральных х₁ значений фактора.

3. Создать матрицу планирования для равномерно-симметричного плана (РСП) для N = 11.

4. Написать формулы для расчета коэффициентов однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка и их дисперсий значимости.

6. Написать формулу для расчета дисперсий воспроизводимости и адекватности, а также их чисел степеней свободы.

8. Сформулировать алгоритм проверки уравнения регрессии любого порядка на адекватность.

10. Написать уравнение для расчета абсолютной погрешности Y(Х₁) параметра Y(Х₁), рассчитанного по ортогонализированному однофакторному уравнению регрессии второго порядка.

11. Сформулировать алгоритм оптимизации изучаемого объекта, описываемого ортогонализированным однофакторным уравнением регрессии второго порядка.

Формулировки 30 вариантов контрольных задач

Таблица 6. – Экспериментальные данные (параметр Y, кВтч/т).

Вариант 1

Y1j	Y2j	Y3j	Y4j
79.3	79.5	78.2	75.9
60.1	59.5	61.3	60.4
54.6	50.5	52.9	53.1
54.9	51.1	50.9	52.7
55.3	58.1	54.1	56.2

Вариант 2

Y1j	Y2j	Y3j	Y4j
78.2	78.0	78.6	75.8
57.6	60.6	62.2	62.5
53.6	50.8	55.4	50.9
53.1	52.9	53.0	52.8
60.4	61.0	63.0	60.4

Вариант 3

Y1j	Y2j	Y3j	Y4j
73.5	75.6	75.4	72.1
65.7	65.5	65.4	61.5
56.3	55.8	56.2	59.4
51.1	52.1	55.4	53.2
54.8	53.8	55.7	57.1

Вариант 4

Y1j	Y2j	Y3j	Y4j
78.9	78.6	77.4	76.4
62.7	58.2	63.0	60.3
51.5	51.9	54.3	55.1
51.4	51.7	53.2	51.4
58.3	55.4	58.0	55.9

Вариант 5

Y1j	Y2j	Y3j	Y4j
75.9	78.5	78.1	79.3
62.3	56.9	60.1	60.6
52.6	52.3	53.5	49.3
49.5	51.2	51.4	49.8
59.6	61.7	56.9	62.2

Вариант 6

Y1j	Y2j	Y3j	Y4j
74.8	74.8	73.0	75.7
63.0	63.4	62.5	65.0
56.2	57.6	58.3	56.9
55.8	53.6	53.3	52.3
57.4	59.1	58.9	57.8

Вариант 7

Y1j	Y2j	Y3j	Y4j
78.0	72.5	77.1	77.8
62.6	59.7	63.4	62.2
51.0	53.7	57.1	52.9
51.1	54.3	56.3	55.2
62.3	62.1	60.5	60.0

Вариант 8

Y1j	Y2j	Y3j	Y4j
77.4	81.9	80.5	77.9
61.1	60.6	61.8	57.7
54.0	53.1	49.9	55.2
51.2	49.7	53.1	51.6
60.9	60.2	59.7	58.1

Вариант 9

Y1j	Y2j	Y3j	Y4j
73.0	74.8	71.4	73.5
62.4	62.4	60.2	63.5
59.2	58.4	59.4	55.8
52.8	56.8	53.8	49.7
57.3	56.9	58.4	57.3

Вариант 10

Y1j	Y2j	Y3j	Y4j
77.0	76.7	74.9	72.0
64.4	65.9	63.4	64.7
55.7	55.7	56.2	55.3
52.2	51.7	51.5	54.4
57.7	54.0	54.2	55.9

Вариант 11

Y1j	Y2j	Y3j	Y4j
75.0	76.2	77.8	79.2
60.5	61.5	62.9	62.3
52.4	51.1	51.0	50.6
50.7	54.0	48.4	51.6
58.7	58.7	57.0	55.9

Вариант 12

Y1j	Y2j	Y3j	Y4j
71.4	73.7	74.6	70.2
62.3	62.4	65.9	62.7
54.6	57.2	58.9	58.2
53.5	53.3	55.6	56.6
57.2	57.1	59.3	58.0

Вариант 13

Y1j	Y2j	Y3j	Y4j
75.0	75.0	75.1	77.3
62.6	60.1	61.2	61.0
54.1	52.0	52.8	52.9
52.0	52.7	50.1	51.4
59.6	58.1	54.5	55.4

Вариант 14

Y1j	Y2j	Y3j	Y4j
79.7	79.3	80.9	80.6
59.1	63.7	59.6	62.6
52.8	53.3	54.7	54.9
51.8	51.3	51.7	49.2
59.9	59.9	59.4	57.6

Вариант 15

Y1j	Y2j	Y3j	Y4j
74.8	76.4	70.7	73.2
64.2	63.1	61.2	63.2
56.5	56.0	54.6	54.8
51.9	54.7	55.1	53.3
55.3	54.1	53.2	56.8

Вариант 16

Y1j	Y2j	Y3j	Y4j
75.2	78.1	76.3	76.0
63.1	62.3	60.8	62.5
53.5	50.1	55.9	55.4
52.5	55.3	50.9	52.9
58.0	57.7	53.6	54.8

Вариант 17

Y1j	Y2j	Y3j	Y4j
80.2	80.0	79.2	79.8
60.8	61.5	65.2	61.5
50.7	54.8	51.7	52.6
52.7	51.2	50.5	50.1
58.5	58.7	57.4	59.4

Вариант 18

Y1j	Y2j	Y3j	Y4j
78.4	73.4	74.7	76.4
64.8	65.0	64.2	65.4
58.8	57.4	59.1	56.1
51.2	52.2	54.3	55.0
52.9	54.6	54.5	54.1

Вариант 19

Y1j	Y2j	Y3j	Y4j
77.5	77.9	77.6	78.6
60.2	64.1	64.9	62.1
53.7	54.3	55.9	56.2
53.5	52.5	51.3	52.4
56.4	54.8	53.4	58.1

Вариант 20

Y1j	Y2j	Y3j	Y4j
78.0	76.9	77.8	77.0
61.6	61.3	61.3	63.3
55.1	54.4	54.3	52.9
49.4	52.2	50.6	50.6
55.3	57.0	56.3	59.7

Вариант 21

Y1j	Y2j	Y3j	Y4j
78.3	75.9	74.9	74.2
62.6	63.4	63.6	64.5
56.3	55.5	56.4	56.9
53.5	52.1	53.1	51.9
53.7	54.7	49.7	53.0

Вариант 22

Y1j	Y2j	Y3j	Y4j
73.8	76.8	78.1	76.8
61.9	64.8	64.0	62.3
54.7	54.1	56.0	51.7
48.8	53.9	52.8	51.2
54.7	49.8	53.3	52.6

Вариант 23

Y1j	Y2j	Y3j	Y4j
80.1	76.6	82.4	79.7
60.0	61.0	63.4	60.8
52.2	52.9	53.7	51.3
53.5	51.3	51.6	54.3
60.4	60.5	60.8	57.2

Вариант 24

Y1j	Y2j	Y3j	Y4j
74.1	72.9	79.9	74.2
63.9	62.3	64.0	67.0
55.2	55.3	54.4	57.4
54.1	48.5	56.2	51.7
52.5	53.0	53.9	52.2

Вариант 25

Y1j	Y2j	Y3j	Y4j
73.6	77.5	77.4	76.4
57.5	58.7	58.7	61.2
48.6	49.3	49.9	49.2
48.8	47.1	53.5	50.8
54.3	55.5	56.6	57.3

Вариант 26

Y1j	Y2j	Y3j	Y4j
77.9	73.9	76.0	75.5
60.9	60.1	64.4	65.2
50.7	53.6	49.8	50.6
53.5	50.3	50.1	51.8
53.9	56.3	53.0	54.9

Вариант 27

Y1j	Y2j	Y3j	Y4j
79.9	79.6	78.9	80.4
64.0	63.6	63.4	59.6
51.8	53.0	56.2	53.5
49.8	52.9	49.4	52.8
56.3	58.7	53.9	55.5

Вариант 28

Y1j	Y2j	Y3j	Y4j
80.1	74.0	74.2	79.2
62.3	63.4	64.3	64.2
56.4	54.1	57.4	58.7
50.4	52.5	51.8	52.9
52.0	51.8	53.0	54.8

Вариант 29

Y1j	Y2j	Y3j	Y4j
75.1	74.6	73.6	72.8
59.8	57.6	61.7	56.5
50.9	54.2	51.5	50.1
50.3	48.5	50.8	49.0
51.8	51.7	51.2	53.1

Вариант 30

Y1j	Y2j	Y3j	Y4j
73.5	75.3	73.5	74.1
60.4	60.2	63.7	61.5
55.4	59.0	58.8	54.8
54.8	55.5	54.3	51.9
59.7	62.5	57.9	57.8

13