2.6. Моделирование финансовых рисков
Неопределенность и риск
Окружающий мир полон неопределенностей, связанных с невозможностью точного предсказания будущих событий. Ошибаясь в прогнозах, мы рискуем получить не совсем то, или совсем не то, что ожидалось. Вездесущая неопределенность является источником риска.
Часто нас интересует не столько исход того или иного процесса, сколько связанные с ним количественные характеристики. При этом риск может быть описан случайной величиной, или, в общем случае абстрактным случайным элементом.
Совокупность всех рисков будем обозначать X, и на начальном этапе ограничимся следующим определением.
Определение. Риском называется произвольная случайная величина.
Совокупность рисков, рассматриваемых совместно, часто обладает новыми свойствами, не присущими каждому из рисков в отдельности, поэтому введем понятие портфеля рисков P, как произвольного подмножества X.
Под страхованием понимается передача риска от одного носителя (страхователя) другому (специализированной организации – страховой компании, страховщику) за определенную плату, называемую ценой страхования, тарифной ставкой или страховой премией. Сущность страхования заключается в перераспределении риска между многими носителями; относительно однородную совокупность рисков будем называть страховым портфелем.
Страховые портфели
Рассмотрим некоторые виды страховых портфелей, использующиеся в дальнейшем.
Простейший страховой портфель
состоит из N рисков (случайных
величин)
,
являющихся независимыми и одинаково
распределенными;
имеет
бернуллиевское распределение
Содержательно для каждого риска страховое событие может наступить с вероятностью р, а убыток в результате наступления этого страхового события равен 1 (и одинаков для всех рисков). Ясно, что риск портфеля
(2.6)
имеет биномиальное распределение с параметрами N,p:
(2.7)
Основные параметры этого распределения равны
Простой страховой портфель
также состоит из N независимых рисков
,
однако их распределения несколько
различаются:
Содержательно для
i-го
риска страховое событие наступает с
вероятностью р,
а размер убытка в результате
наступления этого события равен
и,
вообще говоря, неодинаков
у различных рисков. Примером может
служить страхование на случай смерти
с величиной
,
определяемой страховой суммой i-го
договора портфеля.
Распределение риска портфеля (2.6) в данном случае уже не имеет столь простого выражения, как (2.7), но его основные параметры все еще легко вычисляются:
где
Реальный страховой
портфель
является дальнейшим усложнением простого
портфеля; здесь допускаются
произвольные размеры убытков из диапазона
.
Формальное описание этого портфеля
таково: он состоит из N независимых
рисков
вероятность наступления страхового события по i-му риску по-прежнему равна р, а размер убытка, вызванного страховым событием описывается случайной величиной
где
есть индикатор наступления страхового
события по i-му риску,
-
страховая сумма (ответственность) по
i-му риску, а
-
совокупность независимых одинаково
распределенных случайных величин с
функцией распределения
.
Здесь распределение
риска портфеля также не имеет простого
явного выражения, но
по известным параметрам распределения
нетрудно подсчитать основные параметры риска портфеля (3):
Цена страхования
Одной
из основных задач теории риска является
определение цены, которую следует
уплатить
при передаче риска от одного носителя
к другому. В страховании принято выражать
страховую премию в долях от страховой
суммы (ответственности)
соответствующего
риска. Таким образом, при размере премии
Т
(одинаковом
для всех рисков
портфеля) абсолютный размер премии i-го
риска оказывается равным
,
а суммарная премия
портфеля –
(2.8)
Попытаемся сначала сформулировать некоторые естественные принципы определения цены, и рассмотрим их действие на примере простейшего страхового портфеля.