- •Введение в математическую экономику
- •1. Предмет и задачи математической экономики
- •2. Математическое моделирование экономических систем
- •3. Примеры экономических задач оптимизации и управления
- •4. Общая схема принятия решений. Виды и параметры экономических задач оптимизации и управления
- •5. Оптимальное поведение и его формализация в экономико-математических моделях
- •Тема 1. Элементы финансовой математики
- •1.1. Сущность финансовой математики
- •1.2. Основные категории, используемые в финансово–экономических расчетах
- •1.3. Фактор времени в финансово–экономических расчетах
- •1.4. Наращение
- •1.5. Дисконтирование
- •1.6. Номинальная и эффективная ставка
- •1.7. Эквивалентность процентных ставок
- •1.8. Сущность инфляции
- •1.9. Учет инфляции при расчете наращивания
- •1.10. Кредитные расчеты. Равные процентные выплаты
- •1.11. Погашение долга равными суммами
- •1.12. Равные срочные выплаты
- •1.13. Потребительский кредит
- •Тема 2. Оценка инвестиционных процессов
- •2.1. Особенности инвестиционных процессов
- •2.2. Чистый приведенный доход
- •2.3. Срок окупаемости
- •2.4. Внутренняя норма доходности
- •2.5. Построение оптимального портфеля
- •2.6. Моделирование финансовых рисков
- •2.7. Принципы определения цены
- •2.8. Простейший и классический процессы риска
- •Тема 3. Основы актуарной математики
- •3.1. Предмет актуарной математики
- •3.2. Использование решающего правила Байеса
- •3.3. Задача о разорении. Вероятность разорения
- •3.4. Сложные пуассоновские процессы
- •3.5. Неравенство Лундберга
- •3.6. Определение вероятности окончательного разорения в экспоненциальном случае
- •3.7. Влияние перестрахования на вероятность разорения. Задача о разорении и перестрахование
- •Тема 4. Задачи оптимизации и управления в экономике
- •4.1. Основные понятия исследования операций
- •4.2. Классификация задач исследования операций
- •4.3. Построение экономико-математической модели
- •4.4. Линейное программирование
- •4.5. Геометрический метод решения задачи линейного программирования
- •4.6. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования
- •4.7. Транспортная задача линейного программирования
- •4.8. Задача коммивояжера и метод ветвей и границ
- •2) Построение нижних и верхних оценок минимального значения целевой функции.
- •3) Отсеивание вариантов.
- •4.9. Нелинейное программирование. Метод множителей Лагранжа
- •4.10. Задача выпуклого программирования
- •4.11. Понятие о параметрическом и стохастическом программировании
- •4.12. Общая постановка задачи динамического программирования
- •4.13. Принцип оптимальности и уравнения Беллмана
- •4.14. Задача о распределении средств между предприятиями
- •4.15. Общая схема применения метода дп. Задача об оптимальном распределении ресурсов между отраслями на n лет
- •Тема 5. Математические модели экономических процессов
- •5.1. Линейные модели экономики
- •5.2. Модель Леонтьева «Затраты-выпуск»
- •5.3. Планирование производства в динамике (модель Неймана «расширяющейся» экономики)
- •5.4. Математическая теория потребления. Формализация предпочтения потребителя при выборе товаров
- •5.5. Функция полезности как критерий оценки товаров
- •5.6. Предельный анализ и понятие эластичности в теории потребления
- •5.7. Оптимизационная модель задачи потребительского выбора. Уравнение Слуцкого
- •5.8. Математическая теория конкурентного равновесия
- •5.9. Рыночный спрос и рыночное предложение. Условия совершенной конкуренции. Модель Вальраса
3.2. Использование решающего правила Байеса
Теория доверительных оценок дает метод для исчисления страховых доверительных взносов по краткосрочным договорам страхования при использовании
1. ранее полученных данных о риске (прямыми наблюдениями за ним);
2. косвенных данных о риске, т.е. данных, полученных из других источников, которые сочтены подходящими.
Двумя существенными чертами доверительного взноса является то, что он представляет собой линейную функцию от полученных ранее прямых данных о риске и то, что он может регулярно пересматриваться по мере поступления новых данных.
Доверительный взнос (премия правдоподобия) для индивидуального риска имеет вид
PCR = Z PR + (1 - Z) PC , 0 < Z 1,
где PR - оцененная премия, основанная на опыте самого индивидуального риска, PC - оцененная премия, основанная на опыте других подобных рисков. PCR - взвешенное среднее значение этих двух оценок. Z - коэффициент доверия (правдоподобия, достоверности) - это мера того, насколько надежными считает страховая компания прямые данные о новом риске. Часто доверительный взнос (4.1) выражают формулой:
доверительный взнос = .
Основной сложностью подхода к теории достоверности является отсутствие удовлетворительного метода определения коэффициента Z, когда данные по оцениваемой страховке нельзя считать полностью достоверными. Байесовский подход преодолевает эту сложность и имеет ряд других преимуществ.
Апостериорная байесовская оценка частоты требований выплат или их размера (относительно квадратичных убытков) удовлетворяет условиям правдоподобия оценки. Апостериорная байесовская оценка постоянного, но неизвестного параметра , связанного с каким-либо риском, имеет вид
,
где - есть данные, полученные от риска со средним значением .
Байесовский подход срабатывает лишь в небольшом числе случаев и требует наложения сильных предположений на распределение (знание априорного распределения).
Если априорные вероятности появления каждого класса равны, то вероятность того, что вектор x принадлежит классу yi равна:
Очевидно, что наибольшая из величин P(x/yi) и будет обеспечивать наименьшую вероятность неправильной классификации или наименьший средний риск. Решающее правило можно сформулировать следующим образом: вектор измерений х принадлежит классу yi, если
P(x/yi)>P(x/yj)
В простейшем случае для одной переменной и при двух классах процесс разделения можно представить графически на рис. 3.1. Если выборки признака Х, относящиеся к обоим классам, подчинены нормальным законам распределения с дисперсией σ и средними m1 и m2, то пороговая величина х0 позволяет оптимальным образом разделить признаковое пространство на две области:
где l0 критическое правдоподобия, который зависит от платежных — значение коэффициента коэффициентов и априорных вероятностей появления объектов первого и второго класса. Если r11=r22=0, r12=r21 и априорные вероятности равны, то l0=0 и линия х0 проходит посередине между средними обоих классов.
Рис. 3.1. Распределение двух совокупностей 1 и 2 по признаку
Формула Байеса и оптимальные параметрические решающие правила могут быть использованы, если возможна достаточно точная аппроксимация функции плотности распределения данных.