1.1.3.2 Задачи динамики

Для свободной материальной точки задачами динамики являются: зная закон движения точки, определить действующую на нее силу; зная действующие на точку силы, определить закон движения точки.

1.1.3.3 Основные виды сил, рассматриваемые в задачах динамики

Сила тяжести. Это постоянная сила , действующая на любое тело, находящееся вблизи земной поверхности.

Под действием силы тело при свободном падении имеет одно и то же ускорение , называемое ускорением свободного падения или ускорением силы тяжести . Сила трения. Это сила трения скольжения, модуль которой

,

где N - сила нормального давления; f -коэффициент трения.

Сила тяготения. Это сила, с которой два материальных тела притягиваются друг к другу в соответствии с законом всемирного тяготения.

,

где f - гравитационная постоянная (f = 6,673  10^-3 м³/кг  с²);

т₁, т₂ - массы материальных точек;

r - расстояние между ними.

Сила упругости. Ее можно определить, исходя из закона Гука, согласно которому напряжение пропорционально деформации. Например, для пружины

,

с - коэффициент ее жесткости.

Сила вязкого трения. Это сила, действующая на тело, при его медленном движении в вязкой среде.

,

где v - скорость тела;  - коэффициент сопротивления.

Сила аэро-, гидродинамического сопротивления. Сила, тоже зависящая от скорости движения тела в воздухе, воде.

,

где  - плотность среды; S - площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную направлению движения; С_х - безразмерный коэффициент сопротивления.

1.1.3.4 Общие теоремы динамики [1, с. 201-219]

Одной из основных динамических характеристик движения точки является количество движения. Количеством движения материальной точки называется векторная величина , равная произведению массы точки на ее скорость. Для рассмотрения теорем динамики необходимо ввести еще одно понятие - импульс силы. Элементарным импульсом тела называется векторная величина , равная произведению силы на элементарный промежуток времени dt:

.

Направлен элементарный импульс силы вдоль линии действия силы. Интегрированием этого выражения можно найти импульс силы за конечный промежуток времени t

.

Теорема об изменении количества движения точки. Производная по времени от количества движения точки равна сумме действующих на точку сил

.

Это, по существу, другой вариант второго закона динамики. Из этого равенства посредством разделения переменных и интегрирования можно получить математическое выражение теоремы об изменении количества движения точки

.

Изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени.

Эту теорему можно непосредственно использовать при решении задач.

Пример: Точка с массой т = 2 кг движется по окружности с постоянной скоростью v = 4 м/с. Определить импульс действующей на точку силы за время, в течение которого точка проходит четверть окружности.

Решение:

Строя геометрически эту разность, находим из прямоугольного треугольника

.

Поскольку по условию задачи

v₁ = v_0, кг  м/с.

Работа силы. Мощность

Для характеристики действия, оказываемого силой на тело при некотором его перемещении, используют понятие о работе силы. Элементарной работой силы , приложенной в точке М называется величина (скалярная)

,

где F_ - проекция на касательную к траектории ;

dS - модуль элементарного перемещения.

Работа силы на любом перемещении М₀М₁ равна взятому вдоль этого перемещения интегралу от элементарной работы.

Мощностью называется величина, определяющая работу, совершаемую в единицу времени

.

Отсюда, мощность равна произведению касательной составляющей силы на скорость. Например, можно определить мощность локомотива для поезда определенного веса.

Теорема об изменении кинетической энергии точки.

Кинетической энергией материальной точки называется скалярная величина , равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости.

Теорема об ее изменении формулируется следующим образом: Изменение кинетической энергии точки при некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении.

Данная теорема позволяет, зная, как при движении точки изменяется ее скорость, определить работу действующих сил, определить, как изменяется при движении скорость точки (вторая задача динамики).