- •Дифференциальная геометрия и топология
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теоретическая механика
- •Методы вычислений
- •Дифференциальные уравнения
- •Алгебра и теория чисел.
- •1. Исследовать систему на совместимость и решить методом Крамера.
- •2. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
- •3. Разложить пространство r4 на прямую сумму подпространств размерности 2.
- •4. Докажите, что в пространстве m(2, r) система векторов линейно независима.
- •5. Найдите жорданову нормальную форму матриц: .
- •6. Исследовать, являются ли векторы
- •7. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора пространства r2, заданного в некотором базисе матрицей
- •8. Найти все значения , при которых вектор линейно выражается через векторы
- •9. Найти базис и размерность линейной оболочки векторов из , где
- •Докажите, что линейные пространства и изоморфны:
- •11 Найти матрицу, обратную матрице а
- •15. Даны два базиса и пространства Найти матрицу перехода от базиса к .
- •16. Найти ранг матрицы а
ФАН
1. Пусть m – мера Лебега на R. Найти , где D(x) – функция Дирихле,
- характеристическая функция множества А.
Решение:
Т.о. на [0,4] f(x) простая измеримая. Зн.,
Т.к. m(Q[0,4])=m(Q)+m([0,4])-m(Q[0,4])=m(Q)+m([0,4])- m([0,4])=m(Q)=0
m([0,4]\Q)=m([0,4])-m([0,4] Q)==m([0,4])=m([0,4))=4-0 + m({4})=0 =4-0+0=4
m({4})=0, т.к. {4}= m({4})= Ответ: 8
2. Проверить, является ли последовательность точек метрического пространства С[0;1] сходящейся, фундаментальной.
Решение:
Последовательность будет функциональной. Если она будет сходится.
Докажем сходимость:
Последовательность {xn} метрич. пр-ва Х сх-ся в Х, если х0 Х : N N : n N
g(xn,x0)< .
{xn}= g(x,y)= пусть х0(t)=1, тогда
{xn}-сх-ся.
фундаментальна Ответ: явл-ся.
3. Является ли оператор , действующий по формуле Ax = (2x2, 2x3, …, 2xn, …) линейным, ограниченным? Если да, то найти его норму.
Решение:
линейный оператор, если x,yE и K
а) А(x+y)=Ax+Ay б) A(x)= Ax
2) xE1 ||Ax||2c||x||1
1) линейность очевидна;
2) A – ограничен
Нормой оператора А наз-ся наименьшая из констант M т.ч. ||Ax||M||x||
Ответ: ||A||=2
4. Пусть , действующий по формуле Ax = (x1, x2, 5x3,0,…). Найти спектр этого оператора.
Решение:
Рассмотрим A:XX, где Х – банахово пр-во, А – ограничен, С. Все , для которых оператор (I-A) -1 -ет и ограничен, наз измеримыми точками оператора А. Все они образуют резольвентное мн-во оператора А, к-е обознач. (А). Все остальные , т.е. С\(А) наз-ся спектром оператора А и обознач-ся (А).
Ищем точечный спектр оператора т(А)
Ах=х
(х1,х2,5х3,0,0,…)=( х1, х2, х3,…)
х1=х1 =0 х=(0,0,0,х4,х5,….)
х2=х2 =1 х=(х1,х2,0,0,….) т(А)={0,1,5}
5х3=х3 =5 х=(0,0,х3,0,0,….)
0=х4
……….. {0,1,5} x=(0,0,0,….)
Ищем точки непрерывного спектра Ах-х=y
x1(1-)=y1 x1=y1/(1-)
x2(1-)=y2 x2=y2/(1-) н(А)=
x3(5-)=y3 x3=y3/(1-)
-x4=y4
(А)=н(А)т(А) ост(А)={0,1,5} Ответ: (А)={0,1,5}
5. Найти сопряжённый оператор к оператору A: L [0;1] L [0;1], если (Ax)(t) = .
Решение: (Ax,y)=(x,A*y) x,yM
Ответ:
6. Определить, при каких значениях L [0;1] уравнение (1) имеет решение в пространстве L [0;1].
Решение: Уравнение (1) имеет решение для тех и только тех f, к-ые ортогональны всем решениям сопряженного однородного ур-ия. Решим его
x(t)=2tA-4t2B
однородное сопряженное ур-ие имеет нулевое решение. Значит f (f,x(t))=(f,0)=0. След-но fL2[0,1] исходное уравнение имеет решение в L2[a,b]. Ответ: fL2[0,1].
УМФ
1. Решить задачу Коши:
Решение
Это волновое уравнение
2. Привести к каноническому виду
Решение
3. Приведите уравнения к каноническому виду:
Решение:
4. Решить задачу Коши:
Решение
5. Решить задачу Коши:
1) 2)
вспомогательная замена:
Дифференциальная геометрия и топология
1. Пусть X есть R, а τ состоит из:
а) пустого множества и всевозможных бесконечных множеств;
б) пустого множества и дополнений всевозможных конечных множеств.
Является ли в этих случаях набор τ топологией в R.
Решение: топологией в мн-ве Х наз-ся система подмн-в мн-ва Х τ, для кот-ой вып-ся след. аксиомы: 1) , Х τ; 2) -ие любого числа эл-ов из τ снова явл-ся эл-ом из τ; 3) -ие конечного числа эл-ов из τ снова явл-ся эл-ом из τ.
а) {А| А-бескон. мн-во}
1) τ, Х τ, т.к. Х=R-бесконечно
2) Аi, где Аi –бескон мн-во, бесконечно
3) Пусть (0;1]бесконеч [1;2)бесконеч={1}-конечно, -ие τ
τ не явл-ся топологией
б) {В| R\В-конечно}
1) τ, R τ, т.к. R\R= τ
2) Пусть U= iJ Ui, где R\Ui –конечно, пусть R\U=R\ iJ Ui= i(R\Ui)кон-конечно U τ
3) U= i=1nUi Пусть R\U=R\( i=1nUi) = i=1n(R\Ui)конеч U τ
τ- топология.
2. Какие из следующих множеств попарно гомеоморфны:
(- ;3]; [1;5) ; (-7; 2) и [2, 3]. Рассматривается естественная топология.
Решение: f-гомеоморфизм, если f-биекция, f-непрерывно, f -1 –непрерывно. Т.к. при непрерывном отображении открытыеоткр, замкнутыезамкн., то след. рассматривать мн-ва (- ;3]=А и[1;5)=В. Найдем отображение f:АВ f=- , по теореме об обратном отображении f(x)-инъективно, сюръективно, а биективно. То по определению f- гомеоморфно.
3. Пусть А и В – компактные подмножества топологического пространства X. Верно ли, что множество А В компактно? Верно ли, что множество А В компактно?
Решение: топологическое пр-во Х наз-ся компактным, если из всякого открытого покрытия Х можно выделить конечное подпокрытие. Подмн-во тополочического пр-ва наз-ся компактным мн-вом, если оно явл-ся компактным пространством в индуцированной топологии.
А и В- компактны из Х.
1) Пусть Х с τЕ. А=[0;1]-компактно, В=[1/2;2]- компактно [по теореме любой [a,b] в τЕ компактен] АВ не всегда компакт, но АВ =(1/2;1]- не компактно.
2) Пусть АВ, пусть покрытие мн-ва АВ. Очевидно, что оно и покрытие мн-ва А и из него можно выделить конечное подпокрытие для А. Оно же будет отк. Покрытием для В след из него можно выделить конечное подпокрытие для В. Тогда -ие этих 2-х конечных подпокрытий –конечное подпокрытие для АВ АВ –компакт.
Ответ: АВ-компакт, АВ- не всегда компакт.
4. Найти кривизну кривой в точке .
Найти под каким углом пересекаются линии на прямом геликоиде
Решение:
Кривизна k= ;
k= =
Не до конца.
Теория вероятностей и математическая статистика
1. Студент знает не все экзаменационные билеты. В каком случае вероятность вытащить неизвестный билет будет для него наименьшей, когда он будет тащить первым или вторым?
Решение: предположим, что всего n экзаменационных билетов, среди которых m неизвестных. Пусть A={студент выбрал неизвестный билет, если тащит первый}, P(A)=m/n. Теперь предположим, что студент тащит билет вторым и пусть B={студент выбрал неизвестный билет, если тащит вторым}. Рассмотрим следующие гипотезы:
H1 – первый студент вытащит неизвестный билет для второго студента;
H2 – первый студент вытащит известный билет для второго студента.
События H1 и H2 образуют полную группу. P(B)=[по формуле полной вероятности]=
=P(H1)P(B\H1)+P(H2)P(B\H2)= .
Т.о. P(A)=P(B).
Ответ: вероятность вытащить неизвестный билет одинакова, будет ли тянуть его студент вторым или первым.
2. Среди 25 экзаменационных билетов 5 "хороших". Два студента по очереди берут по одному билету. Найти вероятность следующих событий: A = {первый студент взял "хороший" билет};В = {второй студент взял "хороший" билет}; C = {оба студента взяли "хорошие" билеты}.
Решение:
Ответ: P(A)=1/5, P(B)=1/5, P(C)=1/30.
3. На отрезок АВ длины 3 наудачу брошено пять точек. Найти вероятность того, две точки будут находиться от точки А на расстоянии, меньшем 2, а три – на расстоянии, большем 2.
Решение:
A B
0 2 3
Примем за: успех Y – показание точки в [0;2]; неудача Н – показания точки в (2;3]. Т.к. речь идет о геометрической прогрессии, то , где p – вероятность успеха, q – вероятность неудачи.
– формула Бернулли, где k – успехи, n – испытания.
Ответ: P=40/243.
4. В партии из 10 деталей содержится 3 нестандартных. На удачу отобраны 2 детали. Найти математическое ожидание и дисперсию числа нестандартных деталей среди отобранных.
Решение:
- число нестандартных решений среди стандартных.
|
0 |
1 |
2 |
P |
7/15 |
7/15 |
1/15 |
P{=0}= ; P{=1}= ; P{=2}=
M= ; D= M2-( M)2
M= ; D=
Ответ: M=3/5; D=28/75.
5. Плотность распределения вероятностей абсолютно непрерывной случайной величины имеет форму
Найти константу с, функцию распределения и дисперсию .
Решение:
1)
2 ) I II
x 1 x
I) x(-;1)
II) x[1;+)
, Т.о.
3) M= M=
M2=
D= M2-( M)2=3-9/4=3/4
Ответ: с=3, D=3/4,