Дифференциальные уравнения

1. Проинтегрировать с-му ДУ

2. Проинтегрировать СДУ

3. Найти решение указанной задачи

6. Найти решение указанной задачи

4. Найти решение указанной задачи:

Решение

5. Найти решение указанной задачи

Решение

7. Найти решение указанной ниже задачи

8. Найти решение указанной ниже задачи

9. Проинтегрировать след-е ур-е

Решение:

Это уравнение Эйлера

Делаем замену:

Ответ: y(x)=c₁x+c₂x ln|x|.

Алгебра и теория чисел.

1. Исследовать систему на совместимость и решить методом Крамера.

Решение:

Т-ма Крамера: крамеровская система имеет единственное решение.

Крамеровская система – это система, удовлетворяющая следующим 2-м условиям:

1) число уравнений системы = числу неизвестных

2) определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, отличен от 0

Составим определитель:

Система совместима, т.е. имеет хотя бы одно решение.

Ответ: (-4; 1; -2)

2. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

.

Решение: Выпишем расширенную матрицу системы

Приведем эту матрицу к ступенчатому виду. Для этого мы можем делать элементарные преобразования строк.

Т-ма Кронекери-Копелли: СЛУ совместима , когда ранг матрицы = рангу расширенной матрицы системы.

Ранг матрицы – число ненулевых строк в ступенчатом виде матрицы

С – расширенная матрица системы, А – матрица системы

r(C)=2

r(A)=2 r(C)=r(A) и по теореме Кронекери-Копелли система совместима. От ступенчатой матрицы переходим к ступенчатой системе:

Т. к. число уравнений системы < числа неизвестных, то в этом случае система имеет бесконечно много решений. Чтобы найти решение, надо разбить неизвестные на главные и свободные.

главные неизвестные, свободная неизвестная (может быть любым числом),

3. Разложить пространство r4 на прямую сумму подпространств размерности 2.

Решение:

R⁴ – множество строк длины 4 (4-х мерное арифметическое пространство)

R⁴={(

Если А и В – подпространства пространства V, то через А+В обозначают множество {a+b|aЄA, bЄB}

В случае, если А∩В={Ø} – нулевое подпространство, то такая сумма V=A+B называется прямой и в этом случае пишут V=A . В нашем случае Ø=(0,0,0,0)

Пусть теперь А={( B={(0,0,

Проверим, что пространство задаётся в виде А+В

Пусть

а=( в==(0,0, , значит R⁴ =A .

Ответ: R⁴ =A , где А={( B={(0,0,

4. Докажите, что в пространстве m(2, r) система векторов линейно независима.

Решение:

Система векторов а₁,а₂,а₃,а₄ линейно независима, если в любой системе вида

Ø

В нашем случае, пусть

Значит, система векторов Е₁, Е₂, Е₃, Е₄ линейно независима.

5. Найдите жорданову нормальную форму матриц: .

Решение:

Жорданова нормальная форма матрицы состоит из клеток Жордана вдоль главной диагонали, а все остальные элементы такой матрицы нулевые.

Клетка Жордана – это матрица вида:

Если размер клетки n*n, то она обозначается символом Y_n(a).

Пример: Y₁(a)=а, Y₂(a)= , Y₃(a)=

В искомой матрице записывают характеристический многочлен матрицы А и находят его корни.

Характеристический многочлен имеет единственный корень кратности 3.

Надо выяснить, какой из 3-х случае нам подходит:

Y₁= , Y₂= , Y₃=(1)

Число всех клеток Жордана вычисляют по формуле:

A-E = ~

Значит, . Искомая матрица имеет вид: Y=

Ответ: Y=