Соотношение между ежегодным потреблением бананов и годовым доходом

Семья	Бананы (в фунтах) (у)	Доход (в 10000 дол) (х)	W
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	1,93 7,13 8,78 9,69 10,09 10,42 10,62 10,71 10,79 11,13	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	1,000 0,500 0,333 0,250 0,200 0,167 0,143 0,125 0,111 0,100

Положительные или отрицательные, большие или малые остатки должны чередоваться случайным образом. Здесь же как видно из таблицы, сначала остатки отрицательны, затем они становится положительными: это представляется достаточно сомнительным.

В данном примере значение у и х были с помощью метода Монте-Карло, истинное соотношение имеет вид:

случайный член, (5.9)

х принимает целые значения от 1 до 10, а значения случайного члена получают с помощью нормально распределенных случайных чисел со средним значением 0 и среднеквадратичным отклонением 0,1.

Если мы знаем это и определим z=1/x, то уравнение примет линейный вид (5.7).

Бананы, фрукты

Годовой доход

Рис 5.1 Регрессивная зависимость расходов на бананы

от годового дохода

Значение z для каждой семьи уже подсчитано в табл. 5.1. Оценив регрессию между y и z, получим:

(5.10)

(с.о.) (0,04) (0,12)

Подставив z=1/x, имеем:

(5.11)

Семья
1	1,93	5,82	-3,90
2	7,13	6,56	0,57
3	8,78	7,29	1,49
4	9,69	8,03	1,67
5	10,09	8,76	1,33
6	10,42	9,50	0,93
7	10,62	10,23	0,39
8	10,71	10,97	-0,26
9	10,79	11,70	-0,91
10	11,13	12,43	-1,31

С учетом высокого качества оцененного уравнения (5.10) неудивительно, что соотношение (5.11) близко к истинному уравнению (5.9).

5.2. Логарифмирование

Рассмотрим далее функции вида (5.4), которые являются нелинейными как по параметрам, так и по переменным:

(5.12)

Если обозначить у'= In у, z = In х и , то уравнение (5.12) можно переписать в следующем виде:

(5.13)

Процедура оценивания регрессии теперь будет следующей. Сначала вычислим у' и z для каждого наблюдения путем взятия логарифмов от исходных значений. Вы можете сделать это на компьютере с помощью имеющейся статистической программы. Затем оценим регрессионную зависимость у' от z. Коэффициент при z будет представлять собой непосредственно оценку . Постоянный член

является оценкой , т. е. log . Для получения оценки необходимо взять антилогарифм, т. е. вычислить ехр( ).

Логарифмическое преобразование - переход от нелинейной регрессии к линейной.

И по переменным, и по параметрам модели к логарифмической модели In у = In а + b In х + In u.