5.3. Эластичность и ее моделирование

Функция вида часто встречается в экономике. Когда вы видите такую функцию, то можете сразу сказать, что эластичность у по х равна . Например, в разделе 5.1 отмечалось, что это общая форма кривых Энгеля, y представляет собой спрос на товар, х – доход, а - эластичность у по х эластичность спроса по доходу.

Докажем указанное свойство эластичности. Независимо от математической связи между у и х или определения величин у и х, эластичность у по х рассчитывается как относительное изменение у на единицу относительного изменения х:

Эластичность =

Таким образом, если, например, у - это спрос, а х - доход, то данное выражение определяет эластичность спроса на данный товар по доходу.

Выражение для эластичности можно переписать в следующем виде: . Для примера с функцией спроса его можно представить к отношение предельной склонности к потреблению товара к средней склонности к потреблению данного товара.

Если соотношение между у и x имеет вид (4.4), то

Эластичность =

Таким образом, например, если имеется кривая Энгеля вида у=0,01х⁰⁶⁰³, то это означает, что эластичность спроса по доходу равна 0,3. Если вы хотите объяснить это кому-нибудь, кто не знаком с экономической терминологией, то наиболее просто будет сказать, что изменение x (дохода) на 1%вызывает изменение y (спроса) на 0,3%.

Функция вида (5.4) может также применятся к кривым спроса, где y – это спрос на товар, x - цена товара, а β – это эластичность спроса по цене (на практике обычно такая функция спроса объединяется с кривой Энгеля, в результате чего получается зависимость спроса одновременно от дохода и цены.

Что произойдет если математическая связь между y и x не соответствует уравнению (5.1)? Что можно в этом случае сказать об эластичности? Это можно понять на основе базовых принципов. Предположим имеется следующее линейное уравнение:

В данном случае dy/dx равно β; следовательно, эластичность определяется следующим образом:

Эластичность = .

В этом случае значение эластичности в любой точке будет зависеть не только от значения β, но и также и от значения y и х в данной точке.

Таким образом, два основных достоинства математической формы (5.4) состоят в следующем.

1. Если эластичность y по x постоянна, то это единственная математическая форма, которая обладает данным свойством. Это, безусловно, означает, что если вы считаете, что эластичность не постоянна, то данное соотношение не следует моделировать с помощью уравнения (5.4).

Вы можете получить прямую регрессивную оценку эластичности путем оценивания зависимости log y и log x. Эта оценка, конечно, будет достоверна только в том случае, если зависимость определяется уравнением (5.4). Если зависимость линейна, то правильная процедура будет состоять в оценивании линейной регрессии между y и x и последующим вычислением βx/y.

5.4 Случайный член как множитель

При осуществлении преобразований уравнений регрессии, необходимо помнить о том, как эти преобразования влияют на случайный член.

Основное требование здесь состоит в том, чтобы случайный член в преобразование уравнении присутствовал в виде слагаемого (+u) и удовлетворял условиям Гаусса-Маркова. В противном случае коэффициенты регрессии, полученные по методу наименьших квадратов, не будут обладать обычными свойствами и проводимые для них тесты окажутся недостоверными.

Например, желательно, если мы учитываем случайное воздействие, чтобы уравнение имело следующий вид:

(5.14)

Если это так, то исходное (т.е. не преобразованное) уравнение (5.3) будет иметь вид:

(5.15)

В данном конкретном случае, если в исходном уравнении случайный член является аддитивным и условия Гаусса-Маркова выполнены, то это также будет верно для преобразованного уравнения. В этом случае проблем нет.

Что произойдет, если мы используем модель вида (5.4)? Регрессивная модель после приведения к линейному виду путем логарифмирования будет представлять собой уравнение (5.13), и оно должно будет также включать случайный член возмущения, который является аддитивным и удовлетворяет условиям Гаусса-Маркова:

(5.16)

Если вернуться к исходному уравнению, это означает, что формулу (5.4) следует переписать в таком виде:

(5.17)

где v и u связаны соотношением log v = u. Следует помнить, что мы приводим уравнение (5.17) к линейному виду путем логарифмирования его обеих частей. В том случае мы получаем соотношение:

(5.18)

которое представляет собой уравнение (5.16) с соответствующими изменениями определений.

Следовательно, для получения аддитивного случайного члена в уравнении регрессии мы должны начать с мультипликативного члена в исходном уравнении.

Случайный член v изменяет выражение путем увеличения или уменьшения его в случайной пропорции а не на случайную величину. Заметим, что u=0, если log v = 0, что происходит при v = 1. случайная составляющая в оцениваемом уравнении (5.16) будет равна нулю, если v =1. Это имеет смысл, так как если v = 1, то оно никак не изменяет значение .

Для того чтобы были применены t- и F-критерии, величина u должна иметь нормальное распределение. Это означает что log v должен иметь нормальное распределение, что возможно только при логарифмическом нормальном распределении v. Что произошло бы, если предположить, что случайный член в исходном уравнении является аддитивным, а не мультипликативным?

Ответ таков, что, когда вы берете логарифмы, невозможно математическим путем упростить выражение . Наше преобразование не ведет к линеаризации. В этом случае следует использовать метод оценивания нелинейной регрессии.