2.1. Определение центра тяжести площадей.

Во многих задачах часто приходится определять центры тяжести различных по конфигурации и форме тел, представляющих собой геометрические плоские фигуры. Рассмотрим плоскую однородную пластину (Рис1). Вес каждой ее части будет пропорционален площади, т.е. Р_i =γ ^/ *F₁ , где

γ ^/ - вес одного квадратного метра, кг;

F₁ – площадь одной пластины;

Тогда координаты центра тяжести тела можно записать:

х_с = Σ γ ^/ *F₁ х_i / Σ γ ^/ *F₁

y _с = Σ γ ^/ *F₁ y_i / Σ γ ^/ *F₁

Вынося γ ^/ за знак суммы в числителе и знаменателе как величину постоянную для данного тела, и произведя сокращение, получим формулы для определения координат центра тяжести плоской фигуры в ее плоскости, т.е.:

х_с = Σ F₁ х_i / Σ F₁

y _с = Σ F₁ y_i / Σ F₁ , где

х и у – координаты центров тяжести этих частей;

F₁ – площади отдельных частей фигуры.

Произведение части площади F₁ фигуры на расстоянии от центра тяжести до какой - либо оси называется статическим моментом этой части площади относительно данной оси.

Так статический момент S_i площади F₁ относительно оси х будет S_ix =F_i y_i , а относительно оси у будет S_iу =F _i х_i .

Сумма статических моментов всех частей фигуры называется статическим моментом площади фигуры относительно данной оси: S_{x =}= Σ S₀ = ΣF_i *y_i

S_e = Σ S₀ = ΣF_i * x_i

Статический момент площади выражается единицами длины в третьей степени м ³см³, мм³

Координаты центра тяжести плоской фигуры можно выразить через статические моменты площадей. В общем виде, если какая-либо сложная фигура, площадь которой равна

F = ΣF_lt разделена на несколько простых частей, то

х_с = ΣF_i x_i / F =S_y / F

y _с = ΣF_i y_i / F =S_x / F

Если начало координат расположить в центре тяжести площади, то ста­тические моменты относительно осей х и у, проходящих через центр тяжести, будут равны нулю, так как в этом случае у_с = 0 и х_с = 0.

Следовательно, статический момент плоской фигуры относительно тобой центральной оси равен нулю.

Приведем определение координат центров тяжести некоторых фигур, наиболее часто встречающихся при решении задач.

Центр тяжести параллелограмма, прямоугольника, квад­рата, ромба совпадает с точкой С пересечения диагоналей (рис.2 а). Центр тяжести треугольника лежит в точке С пересечения медиан, а ее высота находится на расстоянии ¹/з высоты от основания (рис. 2 б)

б). Положение центра тяжести сектора круга (рис.3в) определяется по формуле:

у_с = [4/3 r sin a / 2] / a, где

а –центральный угол сектора, рад.

При a = π / 2 (полукруг) у_с =4 / 3π

Положение центра тяжести сегмента (Рис.3в) определяется по формуле:

у_с = (4r sin a / 2) / 3(a – sin a)

При a = π / 2 сегмент превращается в полукруг.

При решении задач на нахождение центра тяжести фигуры с отверстиями различной формы их площади необходимо считать отрицательными.

Пример.

Определить положение центра тяжести плоской фигуры с полукруглыми и треугольными вырезами (отверстиями). Размеры фигуры указаны на чертеже.

Решение:

Разбиваем фигуру на три части : прямоугольник 1, со сторонами 400х500 мм, полукруг 11, и треугольник 111, причем площади полукруга и треугольника будем считать отрицательными.

Выбираем оси ординат, как показано на рисунке 4.

Вычисляем координаты центров тяжести и площади отдельных частей фигуры:

Рисунок 4.

х ₁ = 200мм; у₁ = 250 мм; F₁ = 400 х 500= 2000 * 10 ² мм²;

х₂ = 4 * 150 / 3 π = 63.7 мм² ; у₂ = 150 мм; F₂ = - π / 2 * 150² = - 353.25 * 10² мм²;

х₃ = 130 + 2/3*270 = 310мм; у₃= 2/3*360 = 240 мм; F₃= - 1 / 2 *270*360=- 486*10² мм;

Вычислим координаты центра тяжести всей фигуры:

х_с = [F₁ * x₁+ F₂ * x₂ + F₃ * x₃ ] / (F ₁ + F ₂+ F₃) =

=[2000*200+353.25*63.7- 486*310] *10² / (2000 – 353.6 – 486) * 10²= 195.4 мм;

у _с = [F₁ * у₁+ F₂ *у₂ + F₃ *уx₃ ] / (F ₁ + F ₂+ F₃) =

=[2000*250-353.25*150 - 486*240] *10² / (2000 – 353.6 – 486) * 10² =284.6 мм;