Задачи для решения в аудитории

9. Вероятность взять деталь в пределах допуска из большой партии деталей равна . Найти математическое ожидание и дисперсию числа деталей в пределах допуска из 8 деталей взятых наудачу.

10. Поезда данного маршрута городского трамвая идут с интервалом 5 мин. Пассажир подходит к трамвайной остановке в некоторый момент времени. Какова вероятность появления пассажира не ранее чем через минуту после ухода предыдущего поезда, но не позднее чем за две минуты до отхода следующего поезда?

11. Случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией . Вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал .

12. Считается, что отклонение длины изготовляемых деталей от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Если стандартная длина равна и среднее квадратическое отклонение равно , то какую точность длины изделие можно гарантировать с вероятностью ?

13. Число частиц, излученных радиоактивным элементом в течение произвольного промежутка времени, имеет распределение Пуассона с параметром . Найти вероятность того, что число частиц, излученных за две секунды, будет заключено в отрезке .

14. Дистанция между двумя соседними самолетами в строю имеет показательное распределение, причем . Опасность столкновения самолетов возникает при уменьшении дистанции до . Найти вероятность того, что возникает опасность столкновения самолетов в воздухе.

О т в е т ы

1. . 2. . 3. а) ; б) .

4. . 5. . 6. . 7. . 8. .

9. . 10. . 11. . 12. .

13. . 14. .

8. Системы случайных величин

Функцией распределения системы двух случайных величин называется функция .

Для системы непрерывных случайных величин существует плотность распределения вероятностей, определяемая следующим образом:

.

Плотность распределения вероятностей неотрицательна:

.

Плотности распределения вероятностей случайных величин, входящих в систему:

Случайные величины называются независимыми, если

.

Система двух дискретных случайных величин может быть задана таблицей, в которой приведены пары значений случайных величин и соответствующие им вероятности.

Величины				…
				…
				…
				…
…	…	…	…	…	…
				…

Здесь - вероятность события, заключающегося в одновременном выполнении равенств . При этом . Вышеприведенная таблица может содержать счетное множество строк и столбцов.

По таблице распределения вероятностей системы случайных величин можно найти закон распределения случайных величин, входящих в систему:

, .

Дискретные случайные величины называются независимыми, если

.

Начальный и центральный – моменты системы двух случайных величин определяются следующим образом:

и могут быть вычислены по формулам

,

(для дискретных случайных величин)

и ,

(для непрерывных случайных величин).

Центральный момент называется корреляционным моментом. Корреляционный момент характеризует степень линейной зависимости случайных величин. Безразмерной характеристикой связи между случайными величинами служит коэффициент корреляции

.

Если случайные величины, входящие в систему, независимы, то ; в общем случае из-за некоррелированности не следует независимость случайных величин .