Определение угла сдвига при косом резании

Угол сдвига и угол резания формируют площадки, по которым происходит движение срезанного грунта, а, следовательно, и направления действия сил, зависящие от положения этих площадок.

Граничные условия на дневной поверхности разрабатываемого грунта будут определяться всесторонним давлением связности.

Определим граничные условия на площадке сдвига. Для этого необходимо найти значения сил, действующих на поверхность площадки сдвига ОВВ₁O₁.

Рассмотрим силы, действующие на грунт, перемещаемый по ножу (рисунок 4.7) при свободном резании, то есть без учета сопротивлений, возникающих по боковым кромкам ножа, так как эти сопротивления оказывают локальное воздействие на грунт по торцам ножа. По этой причине они практически не изменяют граничные условия на поверхности площадки сдвига ОВВ₁O₁. Будем считать так же, что на данном этапе расчетное положение площадки сдвига определено.

На призму грунта с нормальным сечением ОВКД действует, прежде всего, ее собственный вес, равный

. (4.38)

Объем грунта V, входящий в эту формулу, определяется по уравнению (4.22).

Со стороны ножа действуют нормальная сила N и сила трения Т, равная

, (4.39)

где - угол внешнего трения.

Сила N расположена в плоскости XOY, а сила Т ориентирована против направления движения грунта по ножу, т. е. направлена в сторону движения грунта. В плоскости XOY будет расположена ее проекция T’, равная

. (4.40)

Угол , входящий в это уравнение, находится по формуле (4.7).

Со стороны площадки сдвига ОВB₁O₁ на перемещаемый по ножу грунт действуют нормальная сила Q, сила трения S и сила C_ОВ, затрачиваемая на преодоление сцепления по площадке сдвига.

Нормальная сила Q так же расположена в плоскости XOY. Сила трения S и сила C_ОВ будут действовать в направлении, противоположном направлению сдвига грунта по площадке ОВB₁O₁. Этот сдвиг происходит под углом , на данном этапе неизвестном, но величина которого связана с углами сдвига и формулой (4.17).

Сила трения S будет равна

. (4.41)

Величина силы C_ОВ определится по формуле

, (4.42)

Рисунок 4.7 – Расчетная схема сил: а) – полная; б) – в плоскости XOY.

где - площадь лобовой площадки сдвига, определяемая по уравнению (4.37).

В плоскости XOY (рисунок 4.7, б) будут находиться проекции и рассмотренных выше сил, равные

;

. (4.43)

Составим уравнения проекций сил, действующих на перемещаемый по ножу срезанный грунт, на координатные оси X, Y и Z, учитывая, что ось Z расположена вдоль режущей кромки ножа

;

; .

Выразив силы трения Т и S через нормальные силы N и Q, придем к следующей системе уравнений

;

;

;

Сгруппировав элементы системы уравнений, получим

;

Введя обозначения

;

;

; (4.45)

придем к системе

;

; (4.46)

;

В эту систему входят три неизвестных- силы N, Q и угол . Поскольку система состоит из трех уравнений и содержит три неизвестных, то такая система имеет решение.

Из третьего уравнения системы (4.44) можно получить, что

. (4.47)

Из первого уравнения системы (4.44) получим

. (4.48)

Подставляя это значение во второе уравнение, будем иметь после преобразований

,

откуда получим

. (4.49)

Поскольку решение нельзя представить в замкнутом виде, систему уравнений (4.46) необходимо решать численными методами. По завершении расчетов будем иметь значения угла и сил N и Q, а, следовательно, и зависящих от них сил трения T и S.

Для определения приведенного давления q_max, действующего на площадку сдвига, воспользуемся схемой, изображенной на рисунке 4.8. Обозначим на этой схеме давления от сил Q, S и C_ОВ соответственно как q_Q, s и c, отметив при этом, что величина c будет являться удельным сцеплением грунта, что видно из уравнения (4.42).

Из схемы на рисунке 4.8 можно записать, что величина приведенного давления q_max будет равна

Рисунок 4.8 – Схема к определению приведенного давления.

. (4.50)

Отметим при этом, что

. (4.51)

Таким образом, приведенная методика расчета граничных условий и ее основное уравнение (4.50) позволяют получить величину приведенного давления, действующего на площадку сдвига при известном ее положении.

Устойчивость откоса будет минимальной, когда приведенное давление q_max наклонено к вершине откоса под углом внутреннего трения, что бывает в момент сдвига в направлении, совпадающем с направлением сдвига грунта.

Поэтому необходимо связать угол сдвига, измеренный в плоскости, нормальной к поверхности площадки сдвига и отклоненной от нормали к режущей кромке под углом , с нормальным углом сдвига . Для этого поступим следующим образом.

Проведем через точку О нормаль ОР к поверхности ОВВ₁О₁, являющейся площадкой сдвига (рис. 4.9). Через эту нормаль проведем секущую плоскость, перпендикулярную отрезку ВВ₁, являющемуся режущей кромкой ножа. Таким образом, получим прямоугольный треугольник с прямым углом РОВ. Теперь повернем секущую плоскость на угол , получив при этом треугольник РОВ’. Отметим, что плоскость по-прежнему проходит через нормаль ОР, то есть она остается перпендикулярной поверхности сдвига ОВВ₁О₁. При этом длина отрезка , расположенного на поверхности сдвига, равна длине отрезка (формула 4.13). Новое обозначение введено лишь по той причине, что секущая плоскость на рисунке 4.9 перпендикулярна поверхности сдвига ОВВ₁О₁, в отличие от секущей плоскости на рисунке 4.2, проходящей через такой же отрезок, но перпендикулярной основанию плоскости, расположенному в горизонтальной плоскости. На рисунке 4.9 секущая плоскость, перпендикулярная основанию плоскости, представлена треугольником ОО′В′.

Таким образом, .

Рисунок 4.9 – Схема для определения расчетного угла сдвига

Из схемы видно, что из треугольников ОРВ и ОРВ’ соответственно будем иметь

;

_{, (4.52)}

так как углы РОВ и РОВ’ являются прямыми, как углы между нормалью РО и любым лучом, проведенным в плоскости, перпендикулярной нормали.

Из формул (4.52) получим

. (4.53)

Полученное уравнение позволяет связать расчетный угол сдвига с углом сдвига измеренным в плоскости, нормальной к режущей кромке ножа.

Система уравнений решается итерационными методами. Суть расчета сводится к произвольному выбору предварительного значения угла сдвига и определения по уравнению (4.50) давления q_max на площадку сдвига. После этого определяется по одному из уравнений (2.45) или (2.47) угол сдвига, выдерживающий это давление. Полученное значение сравнивается с предварительно выбранным, и, если они не равны друг другу, то необходимо соответствующим образом выбрать новое значение угла и повторять расчеты до получения результата с требуемой точностью.