§ 4. Силы инерции в механизмах

Пример 1. Тело совершает вращательное движение вокруг некоторой точки . Такое движение можно осуществить разными способами, но всегда должна существовать связь, обуславливающая окружную траекторию точек тела. Эту связь можно осуществить,

например, с помощью нити (фиг. 22).

фиг. 22.

Предположим, что телу посредством толчка сообщен начальный импульс в направлении касательном к окружной траектории. Требуется объяснить наблюдаемое равномерное вращательное движение. Существование связи проявляется в виде реакции, т.е. в виде внешней силы, действующей на тело . Эту силу должен принимать во внимание как инерциальный, так и неинерциальный наблюдатель. Но для неинерциального наблюдателя тело неподвижно, т.к. его система отсчета жестко связана с телом. Это возможно лишь в том случае, если равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна нулю. Значит, кроме реакции, на тело действует еще одна сила, равная реакции связи, но противоположно направленная. Это сила инерции. Поскольку тело неподвижно в неинерциальной системе отсчета , сила инерции представляется только одной составляющей – переносной силой инерции . Для определения ее величины и направления нужно знать величину и направление переносного ускорения . При любом варианте выбора подвижной системы переносное ускорение совпадает с центростремительным ускорением центра тяжести тела при его равномерном движении по окружной траектории.

На основании вышеизложенного определяется сила инерции

,

и реакция связи

.

Для наблюдателя, находящегося в неподвижной системе отсчета никаких сил инерции не существует, но зато тело движется по окружной траектории и, следовательно, обладает ускорением. Единственная сила, приложенная к нему реакция связи. Она и объясняет наличие ускорения. Действительно, реакция связи, осуществляемой нитью, может быть направлена только по нити к центру, что и обуславливает появление в этом направлении ускорения. Поскольку это ускорение всегда направлено к центру, оно называется центростремительным. Величина его, как известно из кинематики, равна .

В приводимых объяснениях пока неясна причина возникновения реакции связи. После начального толчка тело, двигаясь в направлении импульса, т.е. касательно к окружной траектории, растягивает нить. Это растяжение продолжается до тех пор, пока возникающая при этом сила упругой деформации нити не сообщит телу ускорение, необходимого для осуществления движения по окружности. Нить при этом, вообще говоря, увеличивает свою длину по сравнению с первоначальной. Но обычно предполагается, что связь достаточно жесткая и этой деформацией пренебрегают. Однако существование этой деформации принципиально важно для объяснения наблюдаемого движения.

Величину реакции связи можно определить исходя из того, что известно центростремительное ускорение центра тяжести тела .

Эту реакцию иногда называют центростремительной силой, т.к. она обуславливает центростремительное ускорение. Природа центростремительной силы в упругой деформации связи. Неинерциальный наблюдатель, имеющий дело с равновесием сил, вторую силу, силу инерции, естественно, может называть центробежной силой, отчего она не перестает быть силой инерции.

Пример 2. Основываясь на вышеизложенном объяснении причин разрушения связей, в частности разрушение быстровращающихся маховиков и шлифовальных кругов.

Всякое вращательное движение связано с деформацией связи, причем, чем больше ускорение тела, тем больше деформация связи. Величина ускорения может быть какой угодно, а величина деформации не может превышать допустимую из условия прочности связи. Если начальный импульс будет слишком велик за счет сообщения очень большой скорости телу, то это приведет к очень большому ускорению в последующем вращательном движении. Это вытекает из того, что величина сообщенной телу скорости должна сохраниться и во вращательном движении, а это в случае достаточно жесткой связи возможно лишь за счет большой угловой скорости. Связь разрушится из-за несоответствия допустимой деформации и ускорения, обусловленного начальным импульсом.

Если большая скорость телу сообщена путем постепенного увеличения угловой скорости, как это имеет место в случае быстровращающихся маховиков и шлифовальных кругов, разрушение их происходит из-за невозможности обеспечить требуемое ускорение посредством связи, обладающей ограниченной деформационной способностью,

Таким образом, не появление каких-то дополнительных сил является причиной разрушения маховиков и шлифовальных кругов, а наоборот, отсутствие возможности обеспечить необходимую упругую силу посредством деформируемой связи.

Приведенное объяснение является точкой зрения инерциального наблюдателя, но вывод справедлив и для неинерциального, т.к. и в этом случае сила инерции является не причиной, а следствием возникающего движения с ускорением. Само движение возможно лишь при выполнении тех же условий, что и для инерциального наблюдателя.

Пример 3. Тело движется по кривой, отличающейся от окружности. Этот случай движения можно получить, например, поместив тело без трения на неподвижной проволоке с произвольной кривизной. Проволока играет роль связи (фиг.23).

фиг.23.

Сообщим посредством начального толчка импульс движения телу . Поскольку связь двусторонняя, импульс может быть сообщен только в направлении касательной к кривой. Объясним движение с позиции инерциального наблюдателя. Тело, сохраняя первоначальный импульс, стремиться двигаться прямолинейно, равномерно, но связь отклоняет его, тем самым, сообщая ускорение телу, направленное внутрь кривой. Придать ускорение телу можно, подействовав на него силой. Такой силой может быть только реакция связи. Направление реакции связи при отсутствии сил трения всегда нормально к кривой. Таким образом, инерциальный наблюдатель объяснит ускорение тела М, указав вызывающую его силу.

Неинерциальный наблюдатель, связанный с телом М, считает тело покоящимся. Это возможно лишь в том случае, если наряду с реакцией связи на тело действует еще одна сила, равная, но противоположно направленная. Такой силой является сила инерции, а именно, переносная силы инерции, определяемая переносным ускорением центра тяжести тела . Поскольку при указанном выборе подвижной системы координат отсчёта относительное и кориолисово ускорение отсутствуют, переносное ускорение совпадает с абсолютным. Величина и направление абсолютного ускорения определяется кривой.

Пример 4. Тело М помещено с возможностью перемещения на прямолинейном рычаге 1, вращающимся с угловой скоростью ω. Траектория движения центра тяжести тела М представляет некоторую кривую (Фиг. 24).

Фиг. 24

Инерциальный наблюдатель в системе ху наблюдает движение по кривой с ускорением. Полное ускорение, а может быть разложено на нормальное αⁿ, направленное внутрь кривой и касательное α^τ, вдоль кривой. Сила, вызывающая ускорение α — есть реакция со стороны рычага 1. Так как в отсутствии сил трения направление реакции перпендикулярно рычагу, всегда можно указать направление полного ускорения α.

Неинерциальный наблюдатель, связанный с подвижной системой координат ξη (Фиг. 25), также наблюдает движение тела М и объясняет его действием реакцией R. и силы инерции u.

Фиг. 25

Поскольку наблюдаемое им движение происходит вдоль прямолинейного рычага, также должна быть направлена и результирующая сила. Сила инерции в данном случае представлена переносной и кориолисовой силами инерции. Переносное и кориолисово ускорение, определенное по известным правилам, указаны на Фиг. 25.

Следовательно, кориолисова сила инерции u^к направлена противоположно реакции R, а переносная сила инерции — вдоль рычага. Условие направленности равнодействующей трех сил вдоль рычага сводится к равенству u^к и R. Значит движение, наблюдаемое в неинерциальной системе ξη, происходит с ускорением, равным ускорению переносного движения ω²r, а силой, обуславливающей это движение, является центробежная сила.

Можно выбрать неинерциальную системы отсчета еще одним способом: связать ее с телом М (Фиг. 25). В таком случае тело М покоится для неинерциального наблюдателя и, следовательно, кориолисова сила инерции отсутствует. Тело находится в покое под действием двух сил R = u^е.

Фиг. 26

Переносное движение центра тяжести тела М в связи с отсутствием относительного движения равно полному ускорению, которое направлено на направлению вызывающей его реакции R₃ причем связь между ними выражается формулой R = mα. Переносная сила инерции направлена, как показано на Фиг. 26, и отличается от R только знаком. Следовательно, эти силы уравновешивают друг друга, чем и объясняется отсутствие движения в выбранной подвижной системе отсчета.

На разобранных примерах видно, что составляющие полной силы инерции меняются в зависимости от выбора системы отсчета. Так, переносная сила инерции во втором случае не та же самая, что переносная сила инерции.

Пример 5. Тело М совершает вращательное движение относительно тела 1, которое в свою очередь вращается относительно неподвижной т.О (Фиг. 27).

Фиг. 27

Инерциальный наблюдатель отметит сложное движение центра тяжести тела М по некоторой траектории у с полным ускорением а. Это ускорение сообщает реакция R_M2 связи 2, направленная по AM. Другое направление R_M2 иметь не может, т.к. в связи с идеализацией тела М в материальной точке, расположенной в центре тяжести тела и обладающей его массой, реакция должна быть приложена к предмету ее действия. Связь 2 только тогда может создать реакцию, если она деформирована, а для этого нужно, чтобы со стороны тела 1 на связь 2 также действовала сила, реакция тела 1, исходя из третьей аксиомы динамики (действие и противодействие) можно установить, что тело 1 испытывает воздействие R₁₂ со стороны связи 2, равное и противоположное R_M2. Перейдем к исследованию движения тела 1. Рассмотрим идеализированный случай, когда тело 1 обладает упругостью, но имеет бесконечно малую массу. Из второго закона динамики следует, что в этом случае, независимо от величины ускорения, равнодействующая сила равна нулю. В связи с тем, что реакции R₁₂ и R₁₀ не могут уравновеситься (хотя бы потому, что они приложены к разным точкам и по направлению не совпадают), к телу 1 должна быть приложена еще одна сила. Эту силу принято называть уравновешивающей. Место приложения Р_ур определяется тем, каким путем сообщается вращение телу 1. Например, в случае, если привод осуществляется от электродвигателя посредством пальцевой муфты, уравновешивающая сила приложена на радиусе пальца муфты, нормально к поверхности в районе точки контакта. Если способ привода во вращении тела 1 неуточнен, принято считать Р_ур приложенной к точке А в направлении, перпендикулярном ОА. Величина Р_ур находится из условия замкнутости треугольника сил R₁₂, R₁₀, Р_ур.

Неинерциальный наблюдатель, пользующийся подвижной системой отсчета ξη наблюдает движение по траектории β, представляющей окружность с центром А под действием реакции R_m2, переносной силы инерции u^е, кориолисовой силы инерции u^к (Фиг. 28).

Фиг. 28

Обозначим ускорение наблюдаемого движения а^r. Ускорение а^r вызвано равнодействующей силой F.

F = R_M2 + u^e +u^к,

Перепишем его так:

mα^r = R_M2 + (-mα^е) + (-mα^к), и сравним с выражением для полного ускорения:

α = α^е + α^r + α^к_,

или

α ^r = α = α ^е = α ^к.

Умножим обе части последнего выражения на m и сравнив с написанными выше, неинерциальный наблюдатель приходит к такому же утверждению, что и инерциальный:

R_M2 ⁼ та.

Все последующие рассуждения относительно тела 1 остаются в силе, т.к. в связи с отсутствием массы тела 1 неинерциальность системы отсчета не вносит ничего нового.

Возможен еще один способ выбора неинерциальных координат. Свяжем оси ξη с телом М, как показано на Фиг. 29.

Фиг. 29

Неинерциальный наблюдатель считает тело М покоящимся под действием реакции связи R_M2 и силы инерции, представленной в данном случае только переносной силой инерции. Переносное ускорение центра тяжести тела М есть полное ускорение т. М¹ в неподвижной системе отсчета. Тело М покоится при условии R + (-mα) = 0, что совпадает с результатом, полученным инерциальным наблюдателем.

Пример 6. В технике находят применение устройства, называемые динамическими муфтами. Схема одной из них приведена на Фиг. 30. Устройство служит для передачи движения между соосными валами, с которыми жестко связаны звенья 1 и 4.

Механизм имеет две степени подвижности, но благодаря возникновению динамической связи способен передавать движение от звена 1 к звену 4.

Инерциальный наблюдатель отмечает движение т. В по траектории γ с полным ускорением α, для объяснения этого движения должен указать силу. Такой силой является сила F, равнодействующая реакций R_B2 и R_B3 со стороны звеньев 2 и 3. Как было показано в примере 8, эти реакции обусловлены уравновешивающими силами P₁ и Р₃, причем P₁ является движущей силой, Р₂ — силой сопротивления. Если сила сопротивления отсутствует, R_B3 = 0 и ускорение а обусловлено только силой F = R_B2, которая направлена по звену 2. Если при этом P₁ постоянна, то траектория γ т. В будет представлять раскручивающуюся спираль, стремящуюся в пределе к окружности радиуса r = ОА + АВ, но не достигающую ее. Движение т. В по спирали происходит с все возрастающей скоростью. Если сила Р₁ при достижении определенной скорости звена 1 исчезает (как это имеет место в случае привода от асинхронного электродвигателя) т. В переходит на предельную окружную траекторию. Этот переход осуществляется за счет движения звена 1 под действием сил R₁₂ и R₁₀ до положения, при котором они уравновешиваются.

Фиг. 30

Таким образом, при отсутствии сил P₁ и Р₃ т. В движется равномерно по предельной окружности, допускаемой геометрическими связями. При наличии сил P₁ и Р₃ т. В движется по траектории, располагающейся внутри предельной окружности. Вид траектории и характер движения по ней т. В определяется действующими силами P₁ и Рз. Если уравновешивающиеся моменты от сил P₁ и Р₃ равны и противоположны по знаку, т. В движется равномерно по окружности радиуса ОВ, тем большего, чем меньше уравновешивающие моменты. Для доказательства этого утверждения нужно показать, что равнодействующая реакций R_B3 и R_B2 направлена в т. О. Из условия равновесия звеньев 1 и 4 следует, что моменты, создаваемые реакциями R₁₂ и R₄₃ равны уравновешивающим моментам M₁ и М₄, а из условия равновесия звеньев 2 и 3: R₁₂ = R_b2, R₄₃ ⁼ R_b3.

Опустим перпендикуляр H₁ и Н₂ на линии действия сил R_B2 и R_B3, тогда:

M₁=H₁xR_B2, M₂ = H₂xR_B3. (а)

Введем в рассмотрение треугольник ONB и ОМВ, имеющие общее основание и высоты h₁ и h₂. Если принять за основание стороны ON и ОМ, а за высоты перпендикуляры H₁ и Н₂, то удвоенные площади треугольников ONB и ОМВ определяются выражениями:

S₁=H₁xR_B2, S₂=H₂xMB. (б)

Из сравнения выражений (а) и (б) следует, что если отрезки NB и MB выражают в определенном масштабе силы R_B2 и R_B3, то площади S₁ и S₂ выражают моменты M₁ и М₂. Если M₁= M₂, то S₁ = S₂ и, следовательно, h₁= h₂. Диагональ параллелограмма NBMK, представляет уже равнодействующую F = R_B2 + R_B3, при h₁ = h₂ совпадает с линией ОВ, что и доказывает вненаучное утверждение. Если h₁ > h₂ равнодействующая проходит слева от т. Д, если h₁ < h₂ — справа.

В приведенном выше объяснении мы нигде не прибегали к силам инерции. Они существуют только для неинерциального наблюдателя. Введем подвижную систему координат ξη, как показано на Фиг. 31.

Фиг. 31

В системе координат ξη тело покоится под действием реакций R_B2, R_B3 и силы инерции u^е = -mxа^е_В, где а^е_в — переносное ускорение т. В, которое совпадает по линии ускорения т.В. Условие равновесия сил можно записать и так:

F = u^е,

где F = R_B2 + R_b3.

Таким образом, величина и направление полного ускорения т.В определяются реакциями R_B2 и К_В3, которые в свою очередь зависят от уравновешивающих моментов сил P₁ и Р₃. В случае равенства уравновешивающих моментов, как было показано выше, равнодействующая реакций R_B2 и К_В3 а значит и вектора, проходит через точку О и т. В движется относительно т.О равномерно по окружности радиуса ОВ. Если M₁ ≠ М₄ вектор ускорения не проходит через т. О и траекторию движения т. В представляет раскручивающаяся спираль для M₁ > М₄ или скручивающуюся спираль для M₁ < М₄.