10.2. Классификация элементов и сооружений, расчетная схема сооружения

Различают несколько основных видов несущих элементов сооружений:

1. стержни, длина которых L значительно превышает два других размера а и b (рис. 10.1, а);

2. пластины, у которых один размер t (толщина) значительно меньше двух других размеров а и b (рис. 10.1, б);

3. оболочки, которые отличаются от пластин тем, что они очерчены по криволинейной поверхности (рис. 10.1, в);

4. объемные тела, у которых все три генеральных размера примерно одного порядка, например блоки фундаментов, опоры мостов и пр. (рис. 10.1, г).

Если несущие конструкции сооружения содержат только стержни, то такая конструкция называется стержневой.

Расчетная схема сооружения – это упрощенное изображение действительного сооружения, которое фигурирует при выполнении расчетов.

10.1. Расчетная схема (адрес файла блок VI)

Расчетная схема сооружения – это упрощенное изображение действительного сооружения, которое фигурирует при выполнении расчетов.

Вернитесь к тексту

Несущие элементы конструкций представляются в расчетных схемах в идеализированном виде: каждый стержень заменяется его геометрической осью, пластины и оболочки заменяют соответственно плоскостями и поверхностями, проходящими через середину толщины. Сопряжение стержней принято строго в одной точке, называемой узлом. Узлы различают жесткие (рамные) и шарнирные по условию взаимного препятствия повороту элементов расчетной схемы.

Как правило, расчетная схема (10.1) (рис. 10.2) содержит не менее четырех обязательных параметров: геометрическая схема (схема расположения) несущих элементов конструкции; внешние связи (1.14); нагрузки; геометрические размеры. Также в некоторых случаях для расчета необходимо иметь информацию о жесткостных характеристиках элементов расчетной схемы в относительных или абсолютных единицах. На рис. 10.2 изображена расчетная схема рамы, имеющей две шарнирно-неподвижные опоры, один шарнирный и два жестких узла сопряжения стержней и нагрузку в виде горизонтальной сосредоточенной силы.

10.3. Понятие геометрически изменяемых и неизменяемых систем

Одним из основных требований, предъявляемых к сооружению, является следующее: сооружение должно сохранять приданную ему геометрическую форму в течение всего срока службы. Этому требованию удовлетворяют так называемые геометрически неизменяемые системы.

Рассмотрим систему, состоящую из трех стержней, соединенных между собой шарнирами и образующую шарнирный треугольник АВС (рис. 10.3, а). Геометрическая форма этого треугольника, очевидно, не изменится при перемещении его в пространстве в любое положение (вспомним, что по трем сторонам можно построить треугольник и только один). Если же данную систему нагрузить, например силой Р (рис. 10.3, б), то она вследствие упругой деформации (3.5) элементов все же изменит свою форму, но очень незначительно (см. треугольник АВ₁С₁).

Геометрически неизменяемой системой называется система, перемещения точек которой возможны лишь за счет деформации ее элементов.

10.2. Геометрически неизменяемая система (адрес файла блок VI)

Геометрически неизменяемой системой называется система, перемещения точек которой возможны лишь за счет деформации ее элементов.

Вернитесь к тексту

Геометрически изменяемой системой называется система, форма которой или положение в пространстве может изменяться без деформации ее элементов.

10.3. Геометрически изменяемая система (адрес файла блок VI)

Геометрически изменяемой системой называется система, форма которой или положение в пространстве может изменяться без деформации ее элементов.

Вернитесь к тексту

Таким образом, рассмотренный пример с шарнирным треугольником (рис. 10.3, а,б) является простейшим примером геометрически неизменяемой системы (10.2). Плоская рама, изображенная на рис. 10.3, в, также является геометрически неизменяемой системой, однако в отличие от шарнирного треугольника такое заключение далеко не очевидно. Для анализа геометрической изменяемости сложных систем применяют методы рассмотренные ниже.

Простейшим примером геометрически изменяемой системы (10.3) является шарнирный четырехугольник (рис. 10.3, г). Действительно начальная форма четырехугольника АВСD может изменяться без деформации его стержней и принять положение АВ₁С₁D. Очевидно, что при изменении формы данного четырехугольника происходит изменение длин его диагоналей. Установив дополнительный элемент АС в данный четырехугольник (рис. 10.3, д), можно получить геометрически неизменяемую систему (10.2). Заметим, что такая система состоит из 2-ух шарнирных треугольников – простейших геометрически неизменяемых систем. Рассуждая аналогично можно заметить, что любая система, образованная некоторым количеством шарнирных треугольников при достаточном количестве внешних связей (1.14) является геометрически неизменяемой системой (10.2).

Геометрически изменяемые системы (10.3) могут оставаться неподвижными лишь при нагрузках частного вида, поэтому они, как правило, не применяются в строительных сооружениях.

Для исследования подвижности систем служит понятие числа степеней свободы (2.1).

При определении степени свободы системы удобно использовать понятие диска.

Диском называется любая геометрически неизменяемая часть сооружения.

10.4. Диск (адрес файла блок VI)

Диском называется любая геометрически неизменяемая часть сооружения.

Вернитесь к тексту

В частности, диском может быть стержень, массивное тело, шарнирный треугольник (рис. 10.3, а) и т.д. Диск принято изображать в виде тела произвольной формы.

Как известно из понятий теоретической механики любой диск имеет на плоскости три степени свободы. Действительно, чтобы определить положение любой его точки, необходимо задать две координаты какой-либо точки и угловую координату любой прямой, проходящей через точку.

Соединения дисков (10.4) между собой и внешние связи (1.14) ограничивают свободное перемещение дисков, превращая систему в сооружение и обеспечивая ее геометрическую неизменяемость.

Рассмотрим общие принципы формирования геометрически неизменяемых систем (10.2). Пусть на плоскости существует некий диск D₁ (рис. 10.4, а). Для получения геометрически неизменяемой системы необходимо наложить на этот диск три внешних связи (рис. 10.4, а), например, в виде одной шарнирно-неподвижной опоры (2.4), которая накладывает две внешних связи (1.14) и одной шарнирно-подвижной опоры (2.3), которая накладывает одну внешнюю связь.

Обозначим количество степеней свободы (2.1) системы через W, количество дисков (10.4) через D, количество наложенных внешних связей (1.14) через С₀. Очевидно, что на каждый диск геометрически неизменяемой системы (10.2) должно быть наложено не менее трех связей, т.е. D  С₀ /3 или 3D  С₀  0. Пусть левая часть данного выражения определяет количество степеней свободы, т.е.

,

(10.1)

тогда условие геометрической неизменяемости может иметь математический вид – W  0. Усложним систему, добавив еще один диск D₂, который сопряжен с диском D₁ при помощи шарнирного соединения (2.2) (рис. 10.4, б).

Шарнир, соединяющий два диска между собой, называется простым шарниром.

10.5. Простой шарнир (адрес файла блок VI)

Шарнир, соединяющий два диска между собой, называется простым шарниром.

Вернитесь к тексту

Обозначим количество простых шарниров в системе через Ш.

Шарнир, соединяющий три и более диска, называется кратным шарниром.

10.6. Кратный шарнир (адрес файла блок VI)

Шарнир, соединяющий три и более диска, называется кратным шарниром.

Вернитесь к тексту

Кратный шарнир можно заменить рядом простых, присоединяя к одному из дисков каждый последующий диск отдельным простым шарниром. Таким образом, количество простых шарниров в сопряжении определяется как:

,

(10.2)

где D – количество дисков, сопряженных в одном узле.

Итак, добавим диск (10.4) D₂, сопряженный с диском D₁ одним простым шарниром (10.5) (рис. 10.4, б). Полученная система имеет неподвижную часть в виде диска D₁ закрепленного при помощи внешних связей, и подвижную часть в виде диска D₂, который может беспрепятственно поворачиваться вокруг шарнира. Таким образом, данная система имеет одну степень свободы (2.1), для устранения которой потребуется наложение еще одной внешней связи (1.14) (рис. 10.4, б). Рассматривая обе системы совместно, замечаем, что количество степеней свободы у них одинаково. У второй системы (рис. 10.4, б) был добавлен один диск, одна внешняя связь и один простой шарнир Ш=1. Тогда можно записать:

, где n – некоторое число. Тогда

;

Поскольку количество простых шарниров Ш=1, получаем из последнего равенства n=2. Таким образом формула (10.1) может быть обобщена для случая нескольких дисков и записана в виде:

,

(10.3)

где W – количество степеней свободы системы, D – количество дисков в системе, Ш – количество простых шарниров (шарниры внешних связей не учитываются), С₀ – количество внешних связей. Очевидно, что система на рис. 10.4, б) является геометрически неизменяемой, а, следовательно, по определению может быть представлена в виде единого диска, к которому опять же могут быть присоединены другие диски при помощи шарниров. В этом случае для новой системы также может быть задействована формула (10.3). Таким образом, данная формула является обобщенной формулой, которая позволит вычислить количество степеней свободы для любой системы на плоскости. Формула (10.3) носит название формулы Чебышева.

В случае, если определенное по формуле Чебышева число степеней свободы W > 0, система является геометрически изменяемой. Условие W  0, является необходимым, но, как будет показано ниже, недостаточным условием геометрической неизменяемости системы.

Среди геометрически неизменяемых систем (10.2) выделяют статически определимые и статически неопределимые системы.

Статически определимой системой называется такая геометрически неизменяемая система, в которой усилия определяется из условий равновесия (2.14).

10.7. Статически определимая система (адрес файла блок VI)

Статически определимой системой называется такая геометрически неизменяемая система, в которой усилия определяется из условий равновесия.

Вернитесь к тексту

Статически неопределимой системой называется такая геометрически неизменяемая система, в которой усилия невозможно определить только из условий равновесия (2.14).

10.8. Статически неопределимая система (адрес файла блок VI)

Статически неопределимой системой называется такая геометрически неизменяемая система, в которой усилия невозможно определить только из условий равновесия.

Вернитесь к тексту

Формула Чебышева позволяет выделить из числа геометрически неизменяемых систем статически неопределимые системы (10.8) – для таких систем число степеней свободы W < 0. Системы, для которых W = 0 могут быть статически определимыми.

Определим количество степеней свободы по формуле Чебышева для нескольких систем, представленных на рис. 10.5.

Рассмотрим систему на рис. 10.5, а. Она имеет три диска: A-D, B-D, C-D. Шарнир в точке D является кратным шарниром (10.6), определим количество простых шарниров в узле D по формуле (10.2):

.

Количество внешних связей равно пяти: две в точке А, две в точке В и одна в точке С. Подставим в формулу Чебышева:

.

Следовательно, система на рис. 10.5, а, а может быть геометрически неизменяемой и статически определимой системой (10.7).

Системы на рис. 10.5, б, в отличается от рассмотренной выше (на рис. 10.5, а) количеством внешних связей. Для системы на рис. 10.5, б:

.

Система на рис. 10.5, б, может быть геометрически неизменяемой и статически неопределимой системой (10.8).

Для системы на рис. 10.5, в:

.

Система на рис. 10.5, в, геометрически изменяема.