10.4. Основы кинематического анализа изменяемости систем

Как указывалось выше, формула Чебышева не является достаточным условием геометрической неизменяемости системы. Так, например, для системы показанной на рис. 10.6 число степеней свободы по формуле Чебышева определится как: . Это означает, что система может быть геометрически неизменяемой. Однако очевидно, что опоры в данной схеме установлены так, что она может без деформаций смещаться в горизонтальном направлении. Такая система является геометрически изменяемой системой (10.3).

Для окончательного анализа геометрической неизменяемости применяется кинематический анализ системы, который основан на некоторых правилах соединения дисков между собой.

Покажем основные способы образования геометрически неизменяемых систем, базирующиеся на простейшей геометрически неизменяемой системе – шарнирно-стержневом треугольнике.

1. Присоединение нового узла к геометрически неизменяемой системе двумя стержнями, оси которых не лежат на одной прямой (рис. 10.7, а).

2. Соединение двух дисков тремя стержнями, оси которых не параллельны и не пересекаются в одной точке (рис. 10.7, б).

3. Соединение двух дисков стержнем АВ и шарниром С, не лежащим на прямой АВ (рис. 10.7, в).

4. Соединение трех дисков тремя шарнирами, не лежащими на одной прямой (рис. 10.7, г).

5. Соединение трех дисков шестью попарно непараллельными стержнями (рис. 10.7, д). При этом точки пересечения пар стержней – О₁, О₂, О₃, не должны располагаться на одной прямой.

6. Присоединение к системе, имеющей одну степень свободы, трех не лежащих на одной прямой стержней, соединенных шарниром (рис. 10.7, е).

При кинематическом анализе внешнее основание – землю, также можно представить в виде диска (10.4).

Проведем кинематический анализ рамы на рис. 10.6. Два диска – рама и земля, связаны между собой тремя стержнями, что соответствует схеме на рис. 10.7, б. Эти стержни должны быть не параллельны и не пересекаться в одной точке. В нашем случае все три стержня параллельны, значит система является геометрически изменяемой.

Рассмотрим раму на рис. 10.5, а. В соответствии с проведенными расчетами по формуле Чебышева для данной системы W=0, т.е. может она быть геометрически неизменяемой и статически определимой. Окончательный вывод можно сделать с помощью кинематического анализа. Рассмотрим сначала три диска – А-D, В-D и землю. Эти диски соединены между собой тремя шарнирами, которые не лежат на одной прямой (схема на рис. 10.7, г). Значит, часть рамы A-B-D является геометрически неизменяемой системой (10.2) и может трактоваться как единый диск (10.4). Рассмотрим теперь сопряжение вновь образованного диска A-B-D с диском С-D. Сопрягаются два диска при помощи шарнира в точке D и стержня в опоре С, что соответствует схеме на рис. 10.7, в. Для такого вида сопряжений необходимо, чтобы ось стержня не проходила через шарнир, что и наблюдается в нашем случае. Таким образом, рассматриваемая система действительно является геометрически неизменяемой и статически определимой.