4.5 Особенности описания движения твердых тел в программном комплексе фрунд

Основные черты методов представления уравнений движения, применяемых в системах моделирования динамики систем тел следующие: 1) возможность унификации задания расчетной схемы исследуемого объекта с помощью конечного множества типов элементов; 2) простота автоматического формирования уравнений движения и программ для их интегрирования; 3) гибкость при добавлении в систему новых видов специальных воздействий.

Методы представления уравнений динамики связанной системы тел делятся на группы: с использованием относительных и абсолютных координат. В настоящей работе освещается представление в абсолютных координатах, что дает систему уравнений высокой размерности, но ее составляющие имеют более компактный вид [17].

В качестве основополагающих уравнений в ФРУНД используются уравнения Лагранжа I рода. Уравнения динамики механической системы слагаются из уравнений свободного движения тел и уравнений связей от кинематических пар. Кроме кинематических пар, связи между телами могут задаваться силами от упругодемпфирующих элементов, соединяющих тела. Для упрощения интегрирования таких систем уравнений, уравнения связей записываются во вторых производных [27].

Достоинства такого подхода: относительная простота составления уравнений для систем твердых и упругих тел, легкость учета нелинейной характеристики упругих элементов, отсутствие ограничений на структуру расчетной схемы. Недостатки подхода: избыточное число переменных состояния, что отчасти компенсируется диагональностью матрицы масс, а также неустойчивость численных алгоритмов решения, вследствие плохой обусловленности матрицы коэффициентов связей и наличия нулевых корней характеристического уравнения всей системы.

Уравнения движения произвольной системы тел при таком подходе записываются:

(56)

где - вектор обобщенных координат всей системы размерностью ; - матрица инерции; - вектор внешних сил, включающий в себя силы нагрузок, упругодемпфирующих элементов и гироскопические; - матрица переменных коэффициентов уравнений связей от кинематических связей; - вектор правых частей уравнений связей; - вектор множителей Лагранжа [25].

Система уравнений (56) - одна из форм записи уравнений Лагранжа I рода в механике. В математике это соответствует уравнениям Эйлера для экстремалей функционала с ограничениями.

Для уравнений движения твердого тела во ФРУНД используются представления в квазискоростях:

(57)

где - вектор координат центра масс тела в неподвижной системе координат; - вектор проекций угловой скорости тела на подвижную, связанную с телом систему координат; - диагональная матрица масс тела; - диагональная матрица главных центральных моментов инерции тела; - трехмерный вектор внешних сил, действующих на точку, заданный в неподвижной системе координат; - радиус-вектор точки приложения силы в подвижной системе координат; - количество внешних сил; - трехмерный вектор внешних моментов, заданный в подвижной системе координат; - количество внешних моментов; - вектор моментов гироскопических сил; - вектор кинетического момента тела; - ортогональная матрица поворота (ориентации), переводящая вектор, заданный в подвижной системе координат, в неподвижную систему [8].

Уравнения движения произвольной системы тел (56) в матричной форме выглядят следующим образом [20]:

. (58)

Для решения этой системы в каждый момент времени необходимо вычислять определить матрицу и векторы , , от скорости вычисления которых во многом зависит быстродействие алгоритма.

Матрица не обладает свойством положительной определенности, являясь только неотрицательной, поэтому погрешность интегрирования нарастает пропорционально степени числа уравнения связей, что делает невозможным прямое использование уравнения (58) при нахождении . Для устранения такой численной неустойчивости используется введение в правые части первого уравнения (58) стабилизирующих сил, пропорциональных невязкам уравнений связей, с учетом которых система приобретет вид [89]:

. (59)

в котором справедливы соотношения:

(60)

где - силы, пропорциональные погрешности перемещения в связях ; - силы, пропорциональные погрешности скорости в связях ; - силы, пропорциональные погрешности ускорений в связях ; - стабилизирующие коэффициенты. Погрешность по перемещениям в связях не выражается непосредственно через коэффициенты уравнений связей.

Решение системы на каждом шаге интегрирования дает значения ускорений для процедуры численного интегрирования, и значения множителей Лагранжа представляющие реакции в кинематических парах. Такой метод определения ускорений называется прямым. Также возможно определить реакции в связях, а также ускорения по улучшенному методу – из первого уравнения системы (59) [89]:

. (61)