27. Применение закона поглощения для нескольких переменных.

{Закон поглощения av(aΛb)=a; aΛ(aΛb)=a;}

Упростим сложное высказывание: (А + В)•(А + В + С) = A•A + A•B + А•С + А•В + • + В•С; В соответствие с законами булевой алгебры, А•А всегда равно 0, а • всегда равно В. Группируя теперь второй и пятый члены развёрнутого выражения, получаем: В•(А+1) + А•С + А•В + В•С; А+1 всегда равно 1, поэтому объединяем теперь первый и третий члены полученного выражения: В•(1+А) + А•С + В•С; Далее группируем снова первый и третий члены выражения: В•(1+С) + А•С = В + А•С, что и требовалось доказать.

Можно осуществить решение проще, воспользовавшись законом поглощения В + Х•В = В, где Х - любая логическая переменная. Перепишем развёрнутое выражение с учётом того, что А•А равно 0 и • равно В: А•В + А•С + А•В + В + В•С; Переменная В последовательно поглощает первый, третий и пятый члены выражения, в результате остаётся А•С + В.

28. Аксиоматический подход к доказательству логических выражений в булевой

Опирается на следующие законы логики Буля:

а) идемпотентности: а=а∩а; а=аUа

б) коммутативности: а∩b=b∩а; аUb=bUа

в) ассоциативности: (a∩b) ∩c=a∩(b∩c);(aUb) Uc=aU(bUc)

г) дистрибутивности: a∩(bUc)=a∩bUb∩c;aU(b∩c)=(aUb) ∩ (aUc)

д) законы нуля и единицы:

е) законы поглощения: aU(a∩b)=a; a∩(aUb)=a

при использовании аксиоматического подхода используются системы аксиом из приведенных 4 законов. Все остальные тождества можно доказать через эти законы. Дано простое тождество: а∩0=0

а∩0=а∩ (а∩ )=(а∩а) ∩ =((а∩а) U0) ∩ =((а∩а) U (а∩ ))∩ =(а∩ (аU ))∩ =

=(а∩1) U =а∩ =0 эти преобразования проводятся для того чтобы формально привязать к объявленной системе аксиом.

29. Доказательство логических выражений с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

а|b 1

→

c+d d-c 2

Л евая часть.

1|2

b→c a-c 3

a|d 4

3↓4

30. Доказательство логических выражений с использованием таблиц истинности.

В правильности результата можно убедится с помощью таблицы истинности.

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
a	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1
b	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
c	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
d	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
a+b	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1	0	0	0	0
a+b+c+d	0	1	1	0	1	0	0	1	1	0	0	1	0	1	1	0	f-левое
f1=a b	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1
f3=f2=(k+d)	0	1	1	0	1	1	1	1	1	1	1	1	0	1	1	0
f6	1	1	1	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	1	1	1
f7	0	1	1	0	1	0	0	1	1	0	0	1	0	1	1	0	f-правое

Ч.т.д. f-левое= f-правое