13. Разделы математической логики, представление операций булевой логики через множества и их отображение с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
3 раздела:1. логика Буля 2. логика высказываний 3. Логика предикатов
1. Основываясь на отношении эквивалентности, при котором левая часть равенства содержит столько же «истины», сколько и правая. При этом не происходит приращения нового значения.
2, 3. Основывается на отношении порядка, при котором правая часть выражения (вывод, заключение) содержит больше «истины», чем левая часть (посылка).Операции логики Буля удобнее всего объяснить через понятие множество. Определим множество, как совокупность объектов, поддающихся счету. Если счет продолжается бесконечно долго, то имеем бесконечное множество. Если же только начавшись сражу заканчивается, ввиду отсутствия объектов, то имеем пустое множество <= 2 крайних случая.Мы будем рассматривать конечное и непустое множество.
Пусть дана совокупность незаданных объектов, которые после пересчета можно представить V={1, 2, …,11}Предположим, что часть объектов А=1,2,4,6 – круглые; В=2,3,4,8,9 – белые. В этом случае говорят, что множество V имеет 2 подмножества А и В. Исходное множество V называется фундаментальным. Подмножества А и В – просто множествами. В примере имем 4 класса объектов.
С0={5,7,10,11} – те, которые не обладают ни одним из названных свойств. С1={1,6} – предметы, обладанием только свойством А.С2={3,8,9} – предметы, обладанием только свойством В. С3={2,4} – предметы, обладанием свойством А и В. Эти классы можно изобразить графически, с помощью диаграммы Эйлера-Венна
М
ножество
А полностью в В А
В
- символ включения А В
и В А, то А=В
А и В полностью эквивалентны
14. Объединение множеств и переход от предметной переменной х к логическим переменным х1 и х2 .
Объединением Ма U Мb двух множеств Ма и Мb является множество М, состоящее из элементов множества Ма и из элементов множества Мb. М= Ма U Мb = {mi/miЄ Ма, Мb}.Охватывают три класса объектов которые на диаграмме заштриховываются .Логически операцию объединения можно представить : объект ХЄА и/или В . то что ХЄА и/или В выражается : ХЄА U В=(XЄА)٧(ХЄВ) ,٧
-
символ
логичемской связки (дизъюнкция)
Для операций алгебры Кантора выполняются следующие законы:
Коммутативность объединения
Ма U Мb= Мb U Ма
Ассоциативность объединения
Ма U( Мb U Мс)=( Ма U Мb) U Мс
Дистрибутивность пересечения относительно объединения и объединение относительно пересеченияМа ∩ (Мb U Мс) = (Ма ∩ Мb) U (Ма ∩ Мс)
Ма U Мb Ма U (Мb ∩ Мс) = (Ма U Мb) ∩ (Ма U Мс)
И
демпотентность
объединения
Ма U Ма = Ма
Действия с универсальными 1 и пустыми Ø множествами
М
U Ø = М, М U 1 = 1, М U
=
1
Де-Моргана
двойного
дополнения
Сточки
зрения булевой логики вместо 1 предметной
переменной х вводим 2 логических
переменных. Областью определения
предметной переменной х-все числа
натурального ряда, j
входят в множество V.
Область определения 2-х переменных х1,
х2
являются 2 числа 0-лож, 1-истинаПример:
Предположим, что часть объектов А=1,2,4,6
– круглые; В=2,3,4,8,9 – белые.возьмем
х=7 х1=0 х2=0
;
для х=6 х1=1 х2=0
;
для х=3х1=0 х2=1.
Таким
образом х1 и х2 определяют некоторую
логическую функцию которая св случае
дизъюнкции запишется : у=х1 ٧х2