Сопротивление слоя осадка равно

R_ос = r·h_ос = r_о·х_о·V/S, (3.90)

где r_о – удельное объемное сопротивление осадка, м^-2.

С учетом этого выражения основное дифференциальное уравнение фильтрования имеет вид

(3.91)

Приняв условие R_фп = 0, получим

R_o= (3.92)

В начале фильтрования V = 0, когда на фильтрующей перегородке еще не образовался слой осадка, сопротивление фильтрующей перегородки будет

R_фn= (3.93)

Уравнение фильтрования при постоянной разности давлений.

(3.94)

(3.95)

Разделив обе части уравнения на μ_оr_ох_о/(2S), получим зависимость продолжительности фильтрования от объема фильтрата

V²+2 (3.96)

Это уравнение применимо как к сжимаемым, так и к несжимаемым осадкам, поскольку при ΔР = const величины r_о и х_о также постоянны.

При ΔР = const по мере увеличения объема фильтрата и продолжительности фильтрования скорость процесса уменьшается.

Уравнение фильтрования при постоянной скорости процесса.

Для фильтрования при постоянной скорости производную dV/dτ можно заменить отношением конечных величин V/τ.

После такой замены находят решение основного уравнения фильтрования относительно ΔР:

(3.97)

Умножив и разделив первое слагаемое правой части на τ, с учетом выражения w_ф = , получим

ΔР = μ_оr_ох_оw_ф² τ + μ_о R_фп w_ф. (3.98)

При w_ф = const разность давлений возрастает с увеличением продолжительности фильтрования. Это уравнение применимо к несжимаемым осадкам.

Уравнение фильтрования при постоянных разности давлений и скорости.

Такой вид фильтрования осуществим, если чистая жидкость фильтруется сквозь слой осадка неизменной толщины при постоянной разности давлений. Приняв равенство х_оV/S = h_ос и замену dV/dτ на постоянное значение V/τ при ΔР = const найдем

V = (3.99)

Это уравнение дает зависимость объема фильтрата от продолжительности фильтрования чистой жидкости, в частности промывной жидкости.

При прочих равных условиях скорость фильтрования тем больше и производительность фильтра тем выше, чем меньше объем полученного фильтрата или пропорциональная этому объему толщина слоя осадка на фильтрующей перегородке. Поэтому для повышения производительности фильтра необходимо стремиться к возможно быстрому удалению осадка с фильтрующей перегородки.

Для наибольшей производительности фильтров периодического действия целесообразно как можно чаще повторять циклы его работы, подавая на фильтр небольшие порции суспензии. Однако частое повторение циклов работы фильтра по основным операциям, включающим само фильтрование, промывку и продувку осадка, влечет за собой столь же частое повторение вспомогательных операций загрузки суспензии и удаления осадка. В каждом случае существует оптимальная продолжительность цикла работы фильтра, при которой фильтр обладает наибольшей производительностью.

Для простого случая, когда операции промывки и продувки отсутствуют, из уравнения фильтрования при ΔР = const и при условиях R_фп =0, q =V/S и τ = τ_осн найдем

q = (3.100)

где А = 2ΔР/(μ_оr_ох_о) – постоянная.

Выразим производительность фильтра условной средней скоростью фильтрования W как результата деления объема фильтрата, собранного на площади поверхности фильтрования, на продолжительность цикла τ_ц = (τ_осн + τ_всп):

(3.101)

Максимальное значение w_ф соответствует дифференциальному уравнению

(3.102)

и условию dw_ф/dτ_осн = 0.

Отсюда числитель τ_всп – τ_осн = 0, или τ_осн = τ_всп, т.е. наибольшая производительность фильтра достигается при одинаковой продолжительности основной и вспомогательной операций.

При значительном сопротивлении фильтрующей перегородки наибольшая производительность периодически действующего фильтра достигается при τ_осн> τ_всп:

(3.103)

Экономически оптимальная продолжительность цикла фильтрования достигается при соотношении τ_э = (4…6)τ_всп.

Это соотношение справедливо при ΔР = const и R_фп = 0.

3.11. Центробежное фильтрование осадков сточных вод

Центробежное фильтрование осадков сточных вод достигается вращением суспензии в перфорированном роторе - барабане.

Фильтрование под действием центробежной силы проводят на фильтрующих центрифугах. Разделение суспензии в фильтрующих центрифугах складывается из стадии образования, уплотнения и механической сушки осадка с возможной промывкой осадка, т.е. скорость центробежного фильтрования изменяется во времени (рис. 3.14).

Для 1-го периода применимы закономерности кинетики фильтрования. Для центробежного фильтрование уравнение фильтрования имеет вид

, (3.104)

где - радиус ротора; , r_ос - внутренний радиус жидкости и осадка; - коэффициент пропорциональности слоя; - длина ротора.

Под действием центробежной силы в массе фильтруемой суспензии развивается давление, обеспечивающее центробежное фильтрование. В результате происходит отложение осадка на внутренние поверхности барабана ротора и удаление осветленной воды через фильтрующую перегородку и отверстия в барабане.

Центробежная сила изменяется с изменением радиуса. Центробежную силу, действующую на массу элементарного кольца суспензии объемом dV=2·π·r·H·dr = F·dr, можно выразить в виде (см. рис. 3.15):

dG_ц = dm·w₀²/r = dm·²·r, (3.105)

где dm – масса элементарного кольца; r – радиус кольца; w₀ – окружная скорость вращения кольца;  = π·n/30 – угловая скорость вращения кольца; n – число оборотов в минуту.

Масса элементарного кольца.

dm = F·dr·ρ_с, (3.106)

а давление на прилегающий к кольцу слой, развиваемое центробежной силой, приложенной к кольцу:

dP_ц = dG_ц/F = F·dr·ρ_с·І·r/F = ρ_с·І·r·dr, (3.107)

где ρ_с - плотность суспензии.

Давление на фильтрующую перегородку, развиваемое всей массой суспензии в барабане находим интегрированием последнего уравнения в пределах (R₂…R₁):

P_ц = _с^.²(R₁² –R₂²)/2, (3.108)

где R₁ и R₂ - внешний и внутренний радиусы слоя суспензии в центрифуге.

Применительно к центробежному фильтрованию, протекающему при ΔP = const, основное уравнение для скорости центробежного фильтрования будет иметь вид

(3.109)

Для фильтрующего центрифугирования, когда осадок практически мгновенно образуется в результате центробежного осаждения можно найти продолжительность фильтрования

(3.110)

Продолжительность фильтрования, соответствующая случаю, когда количество образовавшегося осадка пропорционально количеству полученного фильтрата

(3.111)

где .

Для 2-го и 3-го периодов центрифугирования длительность процесса может быть вычислена приближенно:

(3.112)

где – начальная и конечная влажность осадка; a, b – опытные константы.

Производительность центрифуги

, (3.113)

где - коэффициент использование объема ротора, ( ); V_р - расчетный объем ротора; _ц - продолжительность пребывание суспензии в роторе.

Центрифуги могут быть периодическими или непрерывного действия, горизонтальными, вертикальными или наклонными; по способу выгрузки осадка из ротора: с ручной, ножевой, поршневой, шнековой или центробежной выгрузкой.

Центрифуги периодического действия применяют при расходах суспензии менее 5м³/ч в широком диапазоне концентраций с частицами диаметром более 10 мкм.

Центрифуги непрерывного действия со шнековой выгрузкой осадка применяются для разделения концентрированных суспензий с размером частиц более 100 мкм. В системах очистки сточных вод используют горизонтальные шнековые центрифуги для выделения частиц гидравлической крупностью 0,2 мм (противоточные) и 0,05 мм (прямоточные).

Средняя производительность центрифуги периодического действия по очищенной воде за один цикл ее работы составит

, (3.114)

где - объем очищенной воды, полученного за один цикл центрифугирования, м³; - продолжительность стадии центрифугирования, с; - продолжительность вспомогательных операций, с; - продолжительность стадии отжима, с; - продолжительность стадии выгрузки осадка.