Процессы размножения и гибели

Процессы размножения и гибели – это частные случаи МСП, в которых переходы возможны только в соседние состояния. В случае процесса размножения и гибели с дискретным временем вероятности переходов между состояниями указываются следующим образом:

Матрица вероятности переходов в общем случае имеет вид (отличается от обычной – тем, что в строке максимум 3 элемента):

Если цепь Маркова является конечной, то последняя строка матрицы записывается в виде [0 0… 0d_n1-d_n]; это соответствует тому, что не допускаются никакие размножения после того, как популяция достигает максимального объема n.

Матрица T содержит ненулевые члены только на главной и двух ближайших к ней диагоналях. Из-за такого частного вида матрицы T естественно ожидать, что анализ процесса размножения и гибели не должен вызывать трудностей.

_i= q_i,i+1 и _i= q_i,i-1.

Матрица интенсивности переходов:

Можно составить граф интенсивности переходов:

Вероятность того, что непрерывный процесс размножения и гибели в момент времени t находится в состоянии E_i (объем популяции равен i) определяется в виде:

(18)

Рассмотрим теперь простейший процесс чистого размножения, который определяется как процесс, для которого _i = 0 при всех i. Кроме того, для еще большего упрощения задачи предположим, что _i= для всех i=0,1,2,... . Подставляя эти значения в уравнения получим

(19)

Для простоты предположим также, что процесс начинается в нулевой момент при нуле членов, то есть:

(20)

Отсюда для P₀(t) получаем решение

P₀(t)=e^-t.

Подставляя это решение в уравнение (19) при i = 1, приходим к уравнению

.

Решение этого дифференциального уравнения, очевидно, имеет вид

P₁(t)= te^-t.

Далее по индукции в качестве решения уравнения (19) находим

.

Это знакомое нам распределение Пуассона. Таким образом, процесс чистого размножения с постоянной интенсивностью  приводит к последовательности рождений, образующей пуассоновский процесс.

*Что обозначает параметр Пуассона? Это параметр интенсивности чистого развития

(23)

.

Полученная система уравнений эквивалентна выведенной ранее. Для составления последней системы уравнений нужно провести вертикальную линию, разделяющую соседние состояния, и приравнять потоки через образовавшуюся границу.

Решение системы можно найти методом математической индукции.

При i=1 имеем:

при i=2:

при i=3:

и т.д.

Вид полученных равенств показывает, что общее решение системы уравнений имеет вид

или, учитывая, что, по определению, произведение по пустому множеству равно единице

Таким образом, все вероятности P_i для установившегося режима выражаются через единственную неизвестную константу P₀. Равенство дает дополнительное условие, позволяющее определить P₀. Тогда, суммируя по всем i, для P₀ получим:

Обратимся к вопросу о существовании стационарных вероятностей P_i. Для того, чтобы полученные выражения задавали вероятности, обычно накладывается требование, чтобы P₀ > 0. Это, очевидно, налагает ограничение на коэффициенты размножения и гибели в соответствующих уравнениях. По существу требуется, чтобы система иногда опустошалась; это условие стабильности представляется весьма резонным, если обратиться к примерам реальной жизни. Определим следующие две суммы:

(1)

Все состояния E_i рассматриваемого процесса размножения и гибели будут эргодическими тогда и только тогда, когда S₁ < и S₂ = . Только эргодический случай приводит к установившимся вероятностям P_i, i = 0, 1, 2, …, и именно этот случай представляет интерес. Заметим, что условия эргодичности выполняются только тогда, когда, начиная с некоторого i, все члены последовательности { } ограничены единицей, т.е. тогда, когда существует некоторое i₀ (и некоторое С<1) такое, что для всех i i₀ выполняется неравенство: (2)

1. – проверка на существования свойства эргодичности

2. – с какого момента i₀ мы можем гарантировать наблюдение эргодичности