20022012 Лекция 3 Математическое моделирование дискретных систем

Моделирование дискретных систем (МДС) позволяет изучать свойства и закономерности, протекающие в дискретных системах. В частности, это могут быть вычислительные системы.

В целом все изученные процессы являются недетерминированными и описываются в терминах теории вероятности.

Исследования ДС проводятся на матмоделях, отображающих структуру и процессы, протекающие в соответствующих системах.

Для начала, приводятся необходимые сведения из теории вероятностей для описания законов распределения дискретных величин.

Элементы теории вероятностей

Теория вероятностей занимается описанием случайных событий (p-система).

Под случайным событием понимается всякий факт, лишенный преднамеренности и регулярности. Или же факт, который может произойти или не произойти в результате какого-нибудь опыта или испытания.

Для количественного сравнения между собой событий с каждым из них связывается число, называемое вероятностью события. Вероятность события – это численная мера степени объективной возможности этого события.

Вероятность любого события вычисляется по следующей формуле Pr[A] = n/N, где n –число исходов, приводящих к появлению события А, N –общее число взаимоисключающих друг друга исходов.

Вероятность любого события должна удовлетворять следующему условию 0≤Pr[A]≤1

Предположим, что {A1, A2, …, An} составляют полную группу событий, то Pr[A1]+…+Pr[An]=1

События А и В называются несовместными или взаимоисключающими, если в результате опыта они не могут появиться одновременно Рr[АВ]=Рr[0]=0 и Pr[A B]=Pr[A]+Pr[B].

События А и В называются независимыми, если появление одного из них не зависит от того, имело ли место другое событие или нет: Pr[AB]=Pr[A]Pr[B]. Такое равенство справедливо почти для всех событий.

Условная вероятность события А, если известно, что событие В произошло: Pr[A|B]=Pr[AB]/Pr[B], если Pr[B] 0. Вероятность совместного появления, при условии , что В произошло.

Согласно теореме о полной вероятности, мы можем одно событие В связать с группой взаимоисключающих событий следующим образом (первая теория о полной вероятности)

Pr[B]=

Вторая теорема о полной вероятности: Pr[B]= .

Одним из основных понятий теории вероятностей – это понятия о случайной величине.

Случайная величина – это величина, которая может принять то или иное значение, заранее неизвестное. СВ делятся на дискретные и случайные СВ (ТРЕТЬЕГО ВИДА НЕ БЫВАЕТ!!!).

Дискретные СВ принимают только отдельные друг от друга значения из конечного множества или интервала (число покупателей в магазине, число клиента в банке, количество обращений к серверу, число процессорных операций при выполнении программы).

Непрерывные СВ - это величины, принимающие любые значения из некоторого промежутка (время выполнения программы, интервалы прихода клиентов в банк, значение температуры в течение дня.

Законы распределения случайных величин

Случайная величина Х может принять каждое из х_i с некоторой вероятностью p_i

P_i=Pr{X=x_i}, i= 1,n

Х – случайная величина, x_i- возможное значение случайной величины.

.

Данная вероятность (суммарная вероятность) как-то распределяется между значениями. Случайная величина будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если задано распределение, то есть определён закон распределения – это всякое соотношение, устанавливающее связь между ввозными значениями СВ и соответствующим им вероятностями.

Законы распределения СВ задаются следующими способами:

1. Аналитический – в виде математического выражения, которое будет отображать зависимость вероятности от значения СВ

2. Табличный (в виде таблиц). Тут перечисляются возможные значения СВ и их вероятности.

3. Графический. На оси абцисс – значение СВ, а ординат – значение вероятностей

Поскольку для непрерывной СВ, которая имеет бесчисленное множество значений, каждая из них обычно не обладает никакой отличной от нуля вероятностью, то для её описания удобнее воспользоваться не вероятностью события Pr{X=x_i}, а Pr{X≤x_i}. Вероятность этого события является функцией от переменной Х. Обозначается F(x)и называется Функция распределения случайной величины.

F

(1.2)

(x)=Pr{X x}.

Функцию распределения называют интегральным ЗР. ФР полностью характеризует СВ с вероятностной точки зрения и является одним из способов задания закона распределения. Свойства ФР: