47. Анализ уравнения Дебая. Температура Дебая.
Дебай
вводит некоторую характеристическую
температуру, которая определяется из
соотношения
;
Анализ уравнения, полученного для внутренней энергии:
1)
при высоких температурах
(высокие температуры)
Экспонента
под знаком интеграла, поэтому
разлагаем в ряд по малым степеням
Тогда
Из теории Дебая мы получили закон Дюлонга - Пти. В области высоких температур теория совпадает с экспериментом.
2)
при низких температурах
(18)
-
дзета-функция Рамани от аргумента
равного 4.
Если
учесть, что
,
то
(19)
Откуда
(20)
Эта
зависимость известна как закон
Дебая.
При достаточно низких температурах возбуждаются длинные акустические волны.
Модель
Энштейна не может объяснить такую
зависимость. При промежуточных
температурах зависимость
с довольно хорошей точностью описана
как теорией Энштейна, так и теорией
Дебая.
48. Теплопроводность твердых тел
В
ходе изложения теории Эйнштейна и Дебая
мы пришли к квантованию упругих волн в
кристалле (т.е. их энергий). Энергия
упругой волны с круговой частотой
не может иметь произвольных значений.
Она должна быть равна целому числу
порций
.
Эта минимальная порция называется
квантом, а переносящая волна - фононом.
Волны ведут себя в микромире как частицы,
в частности, в процессах обмена энергии.
Например, теплопроводность удобнее
всего описывать на языке рассеяния
фононов (на фононах, на дефектах, на
электронах). Так что тепловая энергия
может передаваться в кристаллах фононами,
свободными электронами, электронно-дырочными
парами и экситонами.
Нас интересует передача фононами и электронами.
Электронная
компонента является доминирующей. В
неметаллах большая часть теплового
потока переносится колебаниями решетки,
т.е. фононами. Когда имеется температурный
градиент
теплопроводность можно выразить
уравнением Фурье:
(1)
(
-
каппа)
-
количество теплоты, переносимое через
единичную площадку
потоку за единицу времени;
-
коэффициент теплопроводности.
Если его можно выразить через микроскопические характеристики фононов, воспользовавшись теорией теплопроводности идеального газа.
По этой теории
(2)
-
удельная теплоемкость (отнесенная к
единице объема V);
-
скорость движения молекул;
- среднее значение свободного пробега фононов, уподобившихся молекуле идеального газа. Тогда
- теплопроводность решетки для единичного объема кристалла, которая является мерой плотности фононов;
- скорость побега фононов;
- средняя длина свободного пробега фононов.
Длина пути, пройденная фононом с момента его рождения до исчезновения, сильно зависит от его энергии. Для любого распределения фононов всегда можно найти среднюю длину свободного пробега.
Для предплавильных температур может уменьшаться до 6 - 10 межатомных расстояний, зато при низких температурах может достигать 1 мм.
Общий вид температурной зависимости коэффициента теплопроводности можно представить на рисунке:
При низких температурах зависит линейно, но в области высоких температур линейность уменьшается.
Фононы рассеиваются на дефектах: точечных, линейных, на границах зерен.
Также происходит рассеяние фононов и на разупорядоченном сплаве.
Рассеяние фононов на всех этих дефектах может привести к значительным изменениям и т.п. Так в кристаллах плохого качества остается малой при всех температурах. В очень хороших кристаллах растет и при охлаждении, стремится к насыщению при низких температурах. Величина при низких температурах определяется распределением дефектов.
Экспериментальные исследования подтверждают, что зависит от геометрических размеров образца, от изотропного состава. Эксперимент показывает, что теплопроводность сплава значительно меньше любого из исходных материалов.