23, Визначення часткових коефіцієнтів еластичності.

Визначивши окремі коефіцієнти еластичності для виробничої функції Кобба — Дугласа, дістанемо:

Це означає, що граничний приріст продукції за рахунок приросту кожного ресурсу визначається як добуток коефіцієнта еластичності на середню ефективність ресурсу. Параметр a у функції Кобба — Дугласа залежить од вибраних одиниць вимірювання Y, F, L; водночас числове значення цього параметра визначається також ефективністю виробничого процесу. У цьому можна переконатись, порівнявши дві виробничі функції, які відрізня­ються одна від одної лише значенням параметра a.

Для фіксованих значень F і L тій функції, в якої більше числове значення параметра a, відповідає більше значення Y. Отже, і виробничий процес, який описується цією функцією, буде ефективнішим. Другі похідні функції Кобба — Дугласа мають такий вигляд:

Узявши до уваги, що 0 <  < 1 і 0<<1, Y_FF < 0 і Y_LL < 0, дійдемо висновку: при збільшенні ресурсів граничний приріст обсягу продукції зменшуватиметься. Якщо обсяг продукції у функції Кобба — Дугласа вважати сталим (таким, що дорівнює const), то можна обчислити граничні норми заміщення ресурсів: Звідси бачимо, що гранична норма заміщення ресурсів у функції Кобба — Дугласа визначається як добуток співвідношень величин ресурсів та їх коефіцієнтів еластичності.

24, Моделі з порушенням передумов використання звичайного методу найменших квадратів.

Під час реалізації регресійного аналізу за допомогою звичайного МНК особливу увагу необхідно звернути проблеми, пов’язані виконанням необхідних умов для випадкових відхилень, оскільки властивості статистичних оцінок параметрів лінійна регресія (ЛР) перебуває у прямій залежності від цих відхилень. Для одержання якісних статистичних оцінок, необхідно уважно стежити за виконанням передумов,що сформульовані в теоремі Гаусса-Маркова, бо їх порушення, при використанні … дає статистичні оцінки, яким притаманні небажанні властивості.

Однією з передумов Г-М є:

Виконання цієї умови наз.гомоскедастичністю залишків. Порушення цієї умови є головною ознакою наявності гетероскедастичності моделі.

Моделі, для яких не виконуються передумови Г-М можна поділ на 3 групи:

П ерша група:

Вони між собою є парно не корельованими.

В цьому випадку коваріаційна матриця випадкового вектора буде мати вигляд:

Такі моделі наз економетричними моделями з озн гетероскед залишків.

Д руга група:

Вони є парно корельованими.

В цих моделях між випадковими відхиленнями існує кореляційний зв’язок, хоча дисперсії їх є статистичними величинами.

В цьому випадку коваріаційна матриця випадкового вектора буде мати вигляд:

М атриця є симетричною, тому в цих моделях викор 1МНК не рекомендується внаслідок існування коваріаційних моментів між випадковими залишками.

Т ретя група:

Для моделей 1-ої групи статистична оцінка параметрів здійснюється шляхом використання ЗМНК, для моделей 2-3-оїгруп – УМНК.

25. Узагальнений метод найменших квадратів.

Економетрична модель, якій притаманна гетероскедастичність, є узагальненою моделлю, і для оцінювання її параметрів слід скористатися узагальненим методом найменших квадратів. Розглянемо цей метод.

Нехай задано економетричну модель

(1), коли .

Задача полягає в знаходженні оцінок елементів вектора А в моделі. Для цього використовується матриця S, за допомогою якої коригується вихідна інформація. Ця ідея була покладена в основу методу Ейткена.

Оскільки S — додатно визначена матриця, то вона може бути зображена як добуток , де матриця P є невиродженою, тобто:

. (7.4)

Помноживши рівняння (7.1) ліворуч на матрицю , дістанемо:

,

тобто модель (7.6) задовольняє умови (4.2), коли параметри моделі можна оцінити на основі 1МНК.

Звідси .(7.7)

Ця оцінка є незміщеною лінійною оцінкою вектора А, який має найменшу дисперсію і матрицю коваріацій

(7.8)

Оцінка параметрів , яку знайдено за допомогою (7.7), є оцінкою узагальненого методу найменших квадратів (методу Ейткена).

Модель узагальненого методу найменших квадратів іноді специфі­кується у вигляді

(7.11)

де — відома симетрична додатно визначена матриця. Тоді вираз для оцінки параметрів згідно з методом Ейткена запишеться так: , (7.12)

а для її коваріаційної матриці .(7.13)

При наявності гетероскедастичності оцінки А параметри економетричної моделі, знайдені узагальненим методом найменших квадратів, будуть ефективнішими оцінок, які можна одержати звичайнім методом найменших квадратів.