Теплообмен излучением между двумя выпуклыми телами в самом общем случае

Рассмотрим теплообмен излучением между двумя выпуклыми телами, расположенными произвольно друг относительно друга.

Под выпуклыми телами подразделяются тела, у которых коэффициент самооблучения равен нулю.

Найдем величину теплового потока, которым обмениваются эти два тела, для этого на поверхности каждого тела выделим элементарные площади и определим тот элементарный тепловой поток, который обмениваются эти площадки посредствам облучения.

dF₁, dF₂ – площади элементарных площадок

r₁, r₂ – единичные нормальные векторы к этим площадкам

r – длина отрезка, соединяющего центры элементарных площадок (r – расстояние между элементами площадки)

dw₁ – элементарный телесный угол, характеризующий расположение элементарной площадки

dF₂ – по расположению к dF₁

Будем считать, что излучение каждого тела является изотропным, т.е. характеризуется постоянной интенсивностью I по каждому из направлений, тогда элементарный тепловой поток, который получает площадка dF₂ со стороны площадки dF₁ определяется выражением

Здесь ₁ – интенсивность изотропного излучения тела 1

Аналогичным образом определяется элементарный тепловой поток, получаемый 1-й площадкой со стороны 2-го

₁ – интенсивность изотропного излучения 2-го тела

dw₂ – элементарный телесный угол, который определяется положением dF₁ по отношению к центру площади dF₂

определим элементарный телесные углы dw₁ и dw₂

Получится

Выразим интенсивность излучения через плотность потока энергии излучение Е, можно показать, что для изотропного поверхностного излучения эта связь выражается формулой

И тогда выражение для элементарных тепловых потоков примет вид.

Введем в рассмотрение элементарные угловые коэффициенты излучения, которые характеризуют долю тепловой энергии, которая излучается одной элементарной площадкой, попадая при этом на другую

d _1,2 – элементарный угловой коэффициент излучения, характеризующий часть тепловой энергии, полученной элементарной площадью dF₂, которая выпушена элементарной площадью dF₁

d _2,1 – элементарный угловой коэффициент излучения который характеризует долю тепловой энергии излучения, полученной элементарной площадью dF₁, пришедшей со стороны dF₂

₍₁₎

_{( 2)}

На основе этих формул можно определить тепловой поток, который получает одно тело со стороны излучающей элементарной площадки другого тела, для этого выражение (1) проинтегрируем по всей поверхности тела F₂ и выражение (2) проинтегрируем по всей поверхности тела F₁. В первом выражении от площадки dF₂ зависит только угловой коэффициент

Тогда тепловой поток dQ₂, получаемый 2-м телом со стороны элементарной площадки 1-го тела dF₁ определяется выражением

( 3)

Здесь - угловой коэффициент излучения, который характеризует долю тепловой энергии излучения, полученной 2-м телом полкой энергии излучения элементарной площадки F₁, аналогичным образом

( 4)

Чтобы определить полные тепловые потоки Q₂ и Q₁, которые получают 2-е тело со стороны 1-го и наоборот проинтегрируем выражение (3) по всей площадки поверхности тела F₁, а (4) по поверхности F₂, учитываем что Е₁ и Е₂ константы, получаем:

Здесь и - это средние угловые коэффициенты излучения

(5)

(6)

Введем в рассмотрение площадки взаимного излучения Н:

Н_1,2 показывает, какая часть поверхности 1-го тела излучает тепловую энергию, полностью попадающий на 2-е тело, соответственно Н_2,1 показывает какая часть поверхности 2-го тела, излучает энергию полностью попадает на 1-е тело.

На основе предыдущего выражения:

Н_2,1= Н_1,2

Результирующий тепловой поток между двумя телами 1 и 2 определяют как разность эффективных потоков излучения

Q = Q₂ - Q₁ = Е₁Н_1,2 –Е₂Н_2,1

Подставляя в это выражение уравнение Стефана-Больцмана получим уравнение для теплового потока, которое обменивается тело 1 и 2 излучением.