Главные напряжения
Найдем, при каких углах φ получаются экстремальные значения σ. Для этого найдем производную σ по φ и приравняем ее к нулю:
Обозначим значение угла φ, удовлетворяющее этому уравнению через φ0. Тогда:
На круге напряжений Мора
угол
получается при центре М построением
прямоугольного треугольника по заданным
катетам
и
.
Подставляя в полученную
формулу угол
,
получим, что
.
Следовательно, существуют две взаимно
перпендикулярные плоскости, для которых
нормальное напряжение принимает
экстремальные значения. Эти плоскости
называются главными
плоскостями напряжений,
а действующие в них нормальные напряжения
– главными
напряжениями. Из
второго уравнения системы σ,
τ,:
следует, что в главных плоскостях
касательные напряжения равны нулю.
Величину главных напряжений
и
можно определить из круга Мора (рис.7)
или из уравнения:
Если положить в нем
,
получим:
Аналогичным способом
определяются углы
,
которым соответствуют экстремальные
значения касательного напряжения:
Откуда получаем:
Очевидно, что
,
следовательно:
Или
Таким образом, существуют
два направления, для которых касательные
напряжения получают свои экстремальные
значения (
.
Эти направления делят пополам углы
между главными напряжениями.
Из уравнения и , получим, что
И
Откуда
Т.е. Экстремальные
касательные напряжения равны друг другу
по абсолютному значению, но противоположны
по знаку. Очевидно, что
численно равны радиусу круга напряжений
Мора.
Если площадки ВС и СА являются плоскостями главных напряжений и (рис.8), тогда будем иметь:
,
,
И выражения напряжений σ и τ в произвольном сечении примут более простой вид:
Уравнением окружности, ограничивающей круг напряжений Мора, будет:
Абсолютная величина экстремальных касательных напряжений равна:
Для построения круга Мора
по заданным напряжениям
и
,
следует отложить на оси σ
от точки О отрезки
и
(рис.8) и на отрезке
,
как на диаметре построить окружность.
Для определения напряжений σ
и τ
в сечении, образующем угол φ с плоскостью
главного напряжения
,
следует построить в центре круга угол
.
Тогда координаты σ
и τ
точки S
и будут искомыми напряжениями.
Траектории главных напряжений и траектории наибольших касательных напряжений
При плоском напряженном состоянии векторы всех полных напряжений расположены в одной плоскости. Отметим на этой плоскости при помощи взаимно перпендикулярных штрихов направления главных напряжений в отдельных точках тела. В результате получим поле направлений, для каждой точки которого будут известны два его линейных элемента. Совокупность всех таких элементов составит два взаимно ортогональных семейства кривых. Эти кривые называются траекториями главных напряжений. Они дают наглядное представление о направлениях наибольшего и наименьшего нормальных напряжений во всей рассматриваемой области напряженного состояния.
Для вывода уравнения
траекторий главных напряжений
воспользуемся уравнением:
,
причем будем считать
,
и
известными функциями координат х и у.
Наклон линейного элемента
траектории главных напряжений относительно
оси х определяется равенством:
Выразим тангенс двойного угла через тангенс угла:
Решив это уравнение
относительно
,
получим дифференциальное уравнение
траектории главных напряжений:
Полученное уравнение – уравнение второй степени относительно , следовательно, через каждую точку проходят две кривые. Так как постоянный член уравнения равен -1, то эти кривые в каждой точке взаимно ортогональны. Проинтегрировав это уравнение, можно получить уравнение траекторий главных напряжений. Обычно интегрирование этого уравнения выполняется численными методами.
Совокупность направлений наибольших касательных напряжений в каждой точке тела образуют траектории наибольших касательных напряжений. Траектории наибольших касательных напряжений также образуют два взаимно ортогональных семейства кривых. Эти траектории делят пополам углы между траекториями главных напряжений.
Считая
,
и
известными функциями координат х и у и
замечая, что
,
то из уравнения
,
получим:
Таким образом, дифференциальное уравнение траектории нибольших касательных напряжений имеет вид:
