Круги Мора для трехосного напряженного состояния
Трехосное напряженное
состояние можно изобразить в плоскости
при помощи построения, состоящего из
трех кругов, которые называются кругами
напряжений Мора (рис.10). Пусть напряженное
состояние задано главными напряжениями
,
,
.
Рис.10
Отложим на оси σ
отрезки
,
,
и построим на отрезках
,
,
,
как на диаметрах, полуокружности. Эти
полуокружности ограничивают заштрихованный
на рис.10 треугольник, сторонами которого
являются дуги окружностей. Все напряжения,
возможные при заданном напряженном
состоянии, изображаются координатами
σ, τ точек,
лежащих внутри или на сторонах
заштрихованного треугольника.
Для того, чтобы найти
напряжения σ
и τ,
соответствующие площадке, нормаль к
которой образует с осями углы α,
β,
γ, следует
отложить при
угол
,
при
угол
,
причем тот и другой углы следует
отсчитывать от перпендикуляров к оси
в точках
и
.
Пусть наклонные стороны углов
и
пересекают внешнюю окружность в точках
Е и F.
Опишем из центра М1
дугу ЕR
радиусом М1Е,
а из центра М3
– дугу FR
радиусом М3F.
Координаты точки R
пересечения этих дуг дадут значения
нормального напряжения
и касательного напряжения
на взятой элементарной площадке.
Абсолютная величина наибольшего из
всех возможных касательных напряжений
равна радиусу внешней окружности, т.е.
.
Дифференциальные уравнения равновесия элементарного объема тела
Напряженное состояние, при котором тензор напряжений одинаков в каждой точке тела, называется однородным. Но в общем случае тензор напряжений неодинаков в разных точках тела. Он зависит от нагрузки, действующей на поверхность тела. Поэтому существует задача расчета зависимости компонентов тензора от координат точек тела, предполагая, что напряжения на поверхности тела, обусловленные внешними нагрузками, известны.
Рассмотрим плоское напряженное состояние:
Выделим в теле элементарный объем в форме прямоугольника со сторонами и (рис.11).
Рис.11
Примем, что напряжения, действующие на гранях этого прямоугольника, являются непрерывными и дифференцируемыми функциями положения в плоскости и что на противолежащих ребрах эти напряжения отличаются друг от друга на величину первых членов разложения в ряд Тейлора. Следовательно, если напряжения на ребрах, сходящихся в вершине О, равны:
То на противолежащих ребрах они будут равны:
На рисунке показаны напряжения, действующие только вдоль оси х.
На выделенный прямоугольник,
кроме поверхностных сил могут действовать
и массовые силы, например вес тела, силы
инерции и т.д. Обозначим плотность тела
через
,
а суммы проекций массовых сил, отнесенных
к единице массы на оси х и у – через Х и
Y.
Составим уравнение равновесия сил,
действующих на прямоугольник в направлении
оси х:
Аналогичное уравнение получается и для сил, действующих в направлении оси у. После сокращений получим:
Для определения трех неизвестных , , существует только два уравнения. Поэтому в общем случае эти три функции не могут быть найдены из уравнений равновесия. Следовательно, задача определения компонентов тензора напряжения при плоском напряженном состоянии или плоская задача является статически неопределенной. Для устранения этой неопределенности необходимо ввести в рассмотрение деформации, связав их определенным образом с напряжениями. Полученные уравнения, выведены в предположении, что рассматриваемое тело не деформируется, и называются уравнениями равновесия элементарного объема тела или статическими уравнениями.
Пространственное напряженное состояние.
Выделим в теле элемент в форме параллелепипеда с ребрами , , , которые направлены вдоль осей координат. Найдем уравнение равновесия сил, действующих в направлении оси х:
Аналогичные уравнения получаются в направлении осей у и z. После сокращений получим:
Рис.12
Для определения шести неизвестных компонентов тензора напряжения существует только три уравнения равновесия. Следовательно, пространственная задача определения напряжений также является статически неопределенной. Для устранения этой неопределенности необходимо ввести в рассмотрение деформации, связав их определенным образом с напряжениями.
В большей части задач сопротивления материалов массовые силы оказывают очень незначительное влияние и поэтому при расчетах ими, как правило, пренебрегают. В таком случае в статических уравнениях члены с величинами X, Y, Z пропадают, и остаются уравнения, называемые однородными статическими уравнениями.