Трехосное (пространственное) напряженное состояние
Для определения
пространственного (трехосного)
напряженного состояния надо знать шесть
величин, а именно – нормальные и
касательные напряжения на трех взаимно
перпендикулярных площадках. Нормальные
напряжения
,
,
считаются положительными, если они
направлены наружу от соответствующих
площадок. Касательные напряжения на
каждой площадке определяются двумя
компонентами и обозначаются буквой
,
где индекс i
будет указывать направление нормали к
той грани, на которой касательное
напряжение действует, а индекс j
будет указывать направление самого
касательного напряжения. Следовательно,
для трех площадок получается девять
величин. Но вследствие равенства
касательных на каждых двух взаимно
перпендикулярных площадках имеем:
Поэтому остается только шесть величин.
Расположим девять величин
,
,
,
,
,
,
,
,
в виде симметричной матрицы:
И будем ее называть пространственным тензором напряжений. Вследствие равенства касательных на каждых двух взаимно перпендикулярных площадках, для определения пространственного тензора напряжений достаточно знать только шесть его компонентов , , , , , .
Покажем, что через эти
шесть величин, определяющих направление
на трех взаимно перпендикулярных
площадках, можно выразить напряжения
на любой другой площадке. Для этого
рассмотрим элементарный объем в форме
тетраэдра на рис.9, ребра которого,
сходящиеся в начале координат, взаимно
перпендикулярны и направлены по осям
координат х, у, z. Пусть нормаль
к наклонной площадке АВС, направленная
наружу, имеет направляющие косинусы λ,
μ, ν, и
пусть площадь АВС равна
.
Компоненты полного напряжения р,
действующего на наклонной площадке,
обозначим через
.
В направлении оси х на боковых гранях
тетраэдра действуют следующие напряжения:
На грани ОВС – нормальное
напряжение
,
на грани ОСА – касательное напряжение
и на грани ОАВ – касательное напряжение
.
Замечая, что площади граней ОВС, ОСА и
ОАВ равны соответственно
,
и
,
получим из условия равновесия тетраэдра
в направлении оси х первое уравнение
системы:
Рис.9
Второе и третье уравнение получаются аналогично из условий равновесия в направлении осей у и z.
Подставляя в равенство
найденные значения
,
,
можно получить абсолютное значение
полного напряжения на наклонной площадке
АВС, выраженное через компоненты тензора
напряжений. Проектируя р
на нормаль n
или составляя сумму проекций
,
,
на нормаль, найдем нормальное напряжение
σ:
Касательное напряжение на площадке АВС равно
При трехосном напряженном состоянии в каждой точке тела имеются три взаимно перпендикулярные плоскости, в которых касательные напряжения отсутствуют, следовательно, вектор полного напряжения для каждой из этих плоскостей перпендикулярен к ней. Эти плоскости называются главными, а действующие на них напряжения – главными напряжениями. Прямые линии, по которым пересекаются главные плоскости напряженного состояния, называются главными направлениями напряженного состояния.