6.2. Теорема о циркуляции вектора напряженности.
Теорема о циркуляции в электростатике: циркуляция вектора напряжённости электростатического поля по любому замкнутому контуру равна нулю.
7.Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса.
7.1. Поток вектора напряженности.
Расчёт электрического поля, основанный на применении принципа суперпозиции – задача несложная принципиально, но, как правило, громоздкая математически. Для облегчения расчетов был разработан ряд вспомогательных методов и приёмов. Один из таких приёмов основан на теореме Гаусса.
Прежде, чем сформулировать эту
теорему, введём понятие потока вектора
напряжённости.
Элементарным потоком вектора
напряжённости через элементарную
площадку dS,
ориентированную в электрическом поле
произвольно, называется скалярная
величина
,
Где
–
вектор напряжённости в том месте, где
находится площадка dS.
–
вектор, равный по модулю площади
поверхности dS и
совпадающий по направлению с нормалью
к площадке
(рис. 9).
Площадка dS настолько мала, что её можно считать плоской, а напряжённость поля одинаковой во всех её точках.
Чтобы найти поток вектора через произвольную поверхность S (рис. 10), нужно проинтегрировать:
.
Если поверхность S – замкнутая, знак интеграла снабжается кружком:
.
Если использовать графическую интерпретацию электрического поля с помощью силовых линий, то поскольку число линий , пронизывающих единичную площадку, перпендикулярную к линиям, равно модулю вектора в этом месте, то поток можно определить, как число линий вектора напряженности, пронизывающих всю поверхность S.
Поток вектора – величина алгебраическая. Знак потока зависит от выбора направления нормалей к элементарным площадкам dS, на которые разбивается поверхность S. Условимся в случае замкнутых поверхностей под нормалью к площадке dS понимать внешнюю нормаль.
Тогда поток через площадку dS
будет положительным, если угол α
- острый
и линии напряженности выходят из объема
ограниченного поверхностью. Если же
угол α – тупой
,
то поток через площадку dS
отрицателен, а линии
входят в объем, ограниченный поверхностью
S (рис. 11).
7.2. Теорема Гаусса
Теорема Гаусса устанавливает связь между потоком вектора напряженности через произвольную замкнутую поверхность и суммарным электрическим зарядом, находящимся в объеме, ограниченном этой поверхностью.
Поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность, равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью, деленной на электрическую постоянную ε0:
или
.
Если поле создано системой зарядов, то под q следует понимать алгебраическую сумму зарядов, охватываемых поверхностью S:
В случае, когда заряды, охватываемые поверхностью S, распределены непрерывно, q вычисляется:
,
,
,
где ρ, σ, τ – соответственно объёмная, поверхностная, линейная плотности зарядов.
V, S, l – объём, поверхность, линия, по которым распределены заряды, охватываемые поверхностью S.