- •Введение
- •Тема 1 Математическое программирование и оптимизация
- •1.1 Эволюция развития математических методов и моделей в экономике
- •1.2 Классификация экономико-математических моделей
- •1.3 Математическое программирование
- •1.4 Оптимизация в математике и ее методы
- •1.5 Метод Монте-Карло
- •1.5.1 Алгоритм Бюффона для определения числа Пи
- •1.5.2 Связь стохастических процессов и дифференциальных уравнений
- •1.5.3 Рождение метода Монте-Карло в Лос-Аламосе
- •1.5.4 Дальнейшее развитие и современность
- •1.5.5 Интегрирование методом Монте-Карло
- •1.5.6 Обычный алгоритм Монте-Карло интегрирования
- •1.5.7 Геометрический алгоритм Монте-Карло интегрирования
- •Тема 2 Линейное программирование
- •2.1 Общая задача линейного программирования
- •2.2 Основная задача лп (озлп)
- •2.3 Симплекс-метод линейного программирования
- •2.4 Двойственные задачи линейного программирования
- •2.5 Целочисленное линейное программирование
- •2.6 Параметрическое линейное программирование
- •2.7 Дробно-линейное программирование
- •2.8 Блочное программирование
- •2.9 Теория графов
- •2.10 Транспортная задача
- •2.10.1 Общая характеристика транспортной задачи
- •2.10.2 Математическая модель транспортной задачи
- •Тема 3 Нелинейное программирование
- •3.1 Методы нелинейного программирования
- •3.2 Метод множителей Лагранжа
- •3.3 Сепарабельное программирование
- •3.4 Выпуклое программирование
- •3.5 Квадратичное программирование
- •3.6 Геометрическое программирование
- •3.7 Динамическое программирование
- •3.8 Стохастическое программирование
- •Тема 4 Межотраслевой баланс и сетевое моделирование
- •4.1 Задача межотраслевого баланса
- •4.2 Балансовая модель Леонтьева
- •4.3 Модели межотраслевого баланса в планировании инновационных программ
- •4.3.1 Однопродуктовая динамическая макроэкономическая модель
- •1) Открытая однопродуктовая динамическая модель Леонтьева
- •2) Замкнутая однопродуктовая модель Леонтьева
- •4.4 Сетевая модель данных
- •4.4.1 Историческая справка
- •4.4.2 Основные элементы сетевой модели данных
- •4.4.3 Особенности построения сетевой модели данных
- •4.4.4 Операции над данными сетевой модели
- •4.4.5 Использование сетевой модели
- •4.5 Сетевой график
- •4.6 Методика составления сетевого графика
- •5. Задачи оптимального проектирования
- •5.1. Постановка задачи оптимального проектирования
- •5.1.1. Основные понятия и определения
- •5.2. Пример задачи оптимального проектирования
- •5.3. Классификация задач оптимального проектирования
- •Первая постановка
- •5.4 Определение уравнений линейной регрессии
- •5.7. Методика получения исходных данных
- •5.3. Решение задач оптимального проектирования
- •5.3.1. Оптимизация параметров изделия
2.6 Параметрическое линейное программирование
Параметрическое программирование представляет собой один из разделов математического программирования, изучающий задачи, в которых целевая функция или ограничения зависят от одного или нескольких параметров.
Необходимость рассмотрения подобных задач обусловлена различными причинами. Одной из основных является та, что исходные данные для численного решения любой реальной задачи оптимизации в большинстве случаев определяются приближенно или могут изменяться под влиянием каких-то факторов, что может существенно сказаться на оптимальности выбираемой программы (плана) действий. Соответственно, разумно указывать не конкретные данные, а диапазон возможного изменения данных, чтобы в результате решения иметь наилучшие планы для любого варианта исходных данных.
С математической точки зрения параметрическое программирование выступает как одно из средств анализа чувствительности решения к вариации исходных данных, оценки устойчивости решения.
Заметим, что существуют различные подходы к подобному анализу (например, на основе постановки двойственной задачи). Здесь мы, не ссылаясь на двойственные оценки, рассмотрим самые простейшие варианты решения для самых простейших параметрических программ.
Рассмотрим задачу параметрического линейного программирования, в которой только коэффициенты целевой функции линейно зависят от некоторого единственного параметра λ(времени, температуры и т. п.):
Отыскать максимум (или минимум) функции:
при условиях
, Xj ≥ 0,
Если обратиться к геометрической интерпретации задачи, то можно заметить, что вектор-градиент линейной формы определяется её параметром. Например, для целевой функции L(X, λ) = λX1 + (1-λ)X2 при различных значениях параметра λ градиент определяет различные направления роста функции.
Нетрудно видеть, что, если при некотором значении параметра максимум достигается в вершине A, то небольшая вариация этого значения несколько изменит направление градиента, но не изменит положение точки максимума. Отсюда напрашивается вывод, что некоторый план, оптимальный при λ = λ0 оптимален и в окрестности λ0, т.е. при α ≤ λ ≤ β где λ0 ∈ [α, β].
Можно заметить, что при градиенте, ставшем перпендикулярным некоторой стороне многоугольника планов, имеем два разных оптимальных опорных плана с одним и тем же значением линейной формы, откуда можно утверждать непрерывность экстремума линейной формы по λ
В случае неограниченности множества планов можно утверждать, что если линейная форма не ограничена при λ = λ0, то она не ограничена при всех λ, больших или меньших λ0.
Алгоритм для решения задач параметрического линейного программирования в случае зависимости от параметра коэффициентов целевой функции незначительно отличается от обычного симплексного метода (примеры решения подобных задач приведены ниже).
В случае зависимости от параметра компонент вектора правых частей ограничений, т. е. решения задачи поиска экстремума функции
при условиях
, Xj ≥0, j = 1 ... n;
Во избежание сложностей, связанных с требованием сохранения неотрицательности компонент плана при любых λ (сохранения неотрицательности правой части системы уравнений при всех ее тождественных преобразованиях), достаточно постановить двойственную задачу, воспользоваться вышеупомянутым алгоритмом решения задач параметрического линейного программирования при зависимости от параметра коэффициентов целевой функции и с помощью известных двойственных соотношений находить решение исходной задачи.