5.2. Пример задачи оптимального проектирования

Составим следующую математическую модель:

Ц Ф: F₁ =2[ab+(a+b)h] min

ОГР: abh = 2000

ГРУ: a,b,h >0

Эта запись означает: минимизировать величину полной поверхности параллелепипеда F₁ при условии, что его объем V = abh = 2000, причем все его стороны — только положительные величины.

Эта модель имеет 3 составляющих:

• целевую функцию (ЦФ);

• ограничения (ОГР);

• граничные условия (ГРУ).

Граничные условия показывают предельно допустимые значения искомых переменных a, b, h. Так, в данной задаче все искомые переменные a, b, h должны быть положительными.

Ограничение показывает зависимость между значениями иско­мых переменных. В данном случае ограничением является зависимость объема бака от размеров его сторон. Очевидно, что есть бесчисленное множество положительных значений трех величин а, b, h, произведение которых равно 2000. Поэтому вводится в модель еще одна составляющая — критерий или целевая функция, которая показывает, в каком смысле решение должно быть наилучшим.

В рассматриваемой задаче проектируемый бак должен быть наилучшим в смысле наименьшего количества материала, не­обходимого для его изготовления. Заметим, что наша задача может быть поставлена и в другом варианте, в котором в каче­стве целевой функции принимается длина сварного шва. В этом случае модель будет иметь вид:

F ₂ = L  min

V= 2000

a, b, h >0

После подстановки в нее значений V и L получим систему

F ₂ = 2(a+2b)+h  min

abh = 2000

a, b, h > 0

Результаты решения задачи в этих двух вариантах приведены на рис. 5.5.

Целевая функция	a	b	h	S	L
S  min	12,6	12,6	12,6	953	88
L  min	12,6	6,3	25,2	1111	76

Рис.5.5

Из этой таблицы видно, что при решении задачи по разным целевым функциям получаем совершенно разные результаты решения. В первом случае для минимизации потребного ме­талла бак надо изготавливать в виде куба, так как в решении а = b = h = 12,6. При этом потребное количество материала S = 953 единицы. Во втором случае для минимизации длины сварного шва бак должен иметь стороны, относящиеся как 1:2:4. При этом длина сварного шва L = 76. Эти оба решения, каждый в своем смысле, и будут оптимальными.

Сравнение найденных оптимальных решений с наилучшими решениями вариантного проектирования приведено на рис. 5.6.

Расчет	S	L
Вариантный	1000	80
Оптимальный	953	76
 F	4,9	5,8

Рис. 5.6

Величина ΔF показывает относительное улучшение критерия при оптимальном проектировании по сравнению с лучшим решением вариантного проектирования. Не вызывает сомне­ния, что эта величина достаточно условна. Действительно, ведь значение величины F_опт является обоснованным, a F_вар — в значительной мере интуитивным.

Что же дает оптимальное проектирование?

В общем случае дать достоверный ответ на этот вопрос сложно. Многое зависит от содержания задачи, числа переменных и ограничений, опыта людей, выполняющих многовариантное проектирование. Однако даже по самым скептическим оцен­кам, при оптимальном проектировании находится такое реше­ние, которое улучшает значение целевой функции не менее чем на 5%.

В чем же идея оптимального проектирования? Каким образом применение формул приводит к экономии металла? Или, иными словами, чем оптимальное проектирование отличается от многовариантного?

Такое отличие заключается в следующем:

1. При многовариантном проектировании задают конкретные значения некоторых искомых величин и рассчитывают ос­тальные. В этом случае значение целевой функции является бедствием заданных значений величин.

2. При оптимальном проектировании задают не конкретные значения некоторых величин, а граничные условия, т. е. предельно допустимые значения всех искомых величин и на­ходят такие значения всех искомых величин, которые, во-первых, удовлетворяют всем ограничениям и граничным ус­ловиям, а во-вторых, придают целевой функции оптимальное, т. е. максимальное или минимальное значение.