П. 1.4. Погрешность интерполяционной формулы

Заменяя функцию интерполяционным многочленом , мы допускаем погрешность.

Определение 1.6 Разность

называется погрешностью интерполирования, или остаточным членом интерполяционной формулы.

В узлах интерполирования эта погрешность равна нулю. Оценим погрешность в любой точке . Для этого рассмотрим вспомогательную функцию

, (1.12)

где , ,

(1.13)

Пусть требуется оценить в заданной точке , не являющейся узлом интерполирования. Выберем постоянную из условия . Для этого достаточно положить

Предположим, что имеет непрерывную производную на отрезке . Функция имеет не менее нулей на этом отрезке, а именно в точках . Поэтому производная имеет не менее чем нулей на, - не менее нулей и т.д., функция по крайней мере один раз обращается в нуль на . Тем самым существует точка , в которой .

Поскольку

,

получаем

.

Таким образом доказано, что погрешность интерполирования можно представить в виде

(1.14)

где , - многочлен, определенный согласно (1.13).

Отсюда следует оценка

(1.15)

где

Поскольку многочлены Лагранжа и Ньютона отличаются только формой записи, представление погрешности в виде (1.14) справедливо как для формулы Лагранжа, так и для формулы Ньютона.

§2. Сплайн-интерполирование п. 2.1. Построение кубического сплайна

Пусть на задана непрерывная функция . Введем сетку

.

Обозначим .

Определение 2.1 Интерполяционным кубическим сплайном, соответствующим данной функции и данным узлам называется функция , удовлетворяющая следующим условиям:

1. на каждом сегменте функция является многочленом третьей степени;

2. функция , а также ее первая и вторая производные непрерывны на ;

3. – выполняется условие интерполирования.

На каждом из отрезков , будем строить функцию в виде многочлена третьей степени:

(2.1)

– коэффициенты, подлежащие определению. Поясним смысл введенных переменных. Имеем

поэтому

Из условия интерполирования , получаем

, (2.2)

доопределим .

Из непрерывности функции следует . Отсюда, учитывая выражение для , получаем

Обозначая (2.3)

перепишем это уравнение в следующем виде

(2.4)

Условия непрерывности первой производной приводят к уравнениям

(2.5)

Условия непрерывности второй производной приводят к уравнениям

(2.6)

Объединяя (2.4)-(2.6), получим систему уравнений относительно неизвестных , .

Два недостающих уравнения получают, задавая те или иные граничные условия для . Пусть функция удовлетворяет условиям , тогда естественно требовать, чтобы . Отсюда получаем , т.е.

Условие совпадает с уравнением (2.6) при , если положить . Таким образом, приходим к замкнутой системе уравнений для определения коэффициентов кубического сплайна:

(2.7)

(2.8)

(2.9)

Исключая из этих уравнений переменные , получим систему, содержащую только . Для этого рассмотрим два соседних уравнения вида (2.9):

Вычтем второе уравнение из первого, получаем

Подставим найденное выражение для в правую часть уравнения (2.8), получим .

Приведя подобные слагаемые, и умножив обе части уравнения на 2, получим

(2.10)

Рассмотрим два соседних уравнения вида (2.7) и умножим их на и соответственно

Подставим эти выражения в (2.10), получаем

.

Окончательно для определения коэффициентов получаем систему уравнений

(2.11)

Системы такого вида решаются методом прогонки. В силу диагонального преобладания система имеет единственное решение.

По найденным коэффициентам c_i коэффициенты b_i, d_i определяются с помощью явных формул

(2.12)