- •Глава 2.Численные методы математического анализа Часть 1.Интерполирование и приближение функций
- •§1. Интерполирование алгебраическими многочленами п. 1.1. Определение интерполяционного многочлена
- •П. 1.2. Интерполяционная формула Лагранжа
- •П. 1.3. Интерполяционная формула Ньютона
- •П. 1.4. Погрешность интерполяционной формулы
- •§2. Сплайн-интерполирование п. 2.1. Построение кубического сплайна
- •П. 2.2.Метод прогонки
- •§3. Приближение функций эмпирическими формулами
- •П. 3.1. Подбор эмпирической формулы
- •П. 3.2. Подбор параметров для выбранного типа эмпирической формулы
- •П. 3.2.1. Метод средних
- •П. 3.2.2. Среднеквадратичное приближение
- •Часть 2.Численное интегрирование §1.Простейшие квадратурные формулы п. 1.1.Постановка задачи
- •П. 1.2.Формула прямоугольников
- •П. 1.3.Формула трапеций
- •П. 1.4.Формула Симпсона (парабол)
- •§2.Квадратурные формулы интерполяционного типа п. 2.1.Вывод формул
- •П. 2.2.Оценка погрешности
- •§3.Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности
П. 2.2.Метод прогонки
Рассмотрим систему линейных уравнений
(2.13)
(2.14)
(2.15)
Это система с трехдиагональной матрицей размерности :
Для решения систем такого вида используется метод исключения неизвестных, называемый методом прогонки.
Пусть имеет место соотношение
(2.16)
с неопределенными коэффициентами
Подставим в (2.13), получаем
Сравнивая это тождество с (2.16), находим
(2.17)
(2.18)
Из (2.16) при и (2.14) получаем
(2.19)
Зная и переходя от к в формулах (2.17) и (2.18) можно определить для . Вычисление по формуле (2.16) ведутся путем перехода от к (т.е. зная можно найти ) и для начала этих вычислений необходимо знать . Определим из (2.15) и (2.16) при
(2.20)
Т.о., решение системы (2.13) –(2.15) методом прогонки, осуществляется по следующим формулам:
Прямой ход:
Обратный ход:
Условия устойчивости метода прогонки:
,
.
§3. Приближение функций эмпирическими формулами
При интерполировании используется условие равенства значений аппроксимирующей функции и данной функции в заданных точках – узлах интерполяции. Это означает, что значения функции в узлах должны быть заданы с высокой степенью точности. На практике часто возникает задача аппроксимации таблично заданной функции, значения которой известны приближенно. В этом случае используются другие способы аппроксимации. Наиболее распространенный из них метод наименьших квадратов.
П. 3.1. Подбор эмпирической формулы
В результате эксперимента была получена таблица значений: , . Требуется определить связь между исходными параметрами и искомой величиной на основе таблицы значений .
Задача состоит в том, чтобы найти такую функцию , значения которой при мало отличаются от опытных данных . Такая функция называется эмпирической формулой. График эмпирической зависимости, вообще говоря, не проходит через заданные точки . Это приводит к тому, что экспериментальные данные в некоторой степени сглаживаются, а интерполяционная формула повторила бы все ошибки, которые есть в исходных данных.
Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов:
Подбор общего вида формулы.
Определение наилучших значений, содержащихся в формуле параметров.
Иногда общий вид формулы известен из физических или иных соображений. В других случаях вид может быть произвольным, предпочтение отдается наиболее простым формулам, которые могут выбираться из геометрических соображений, после нанесения экспериментальных точек на координатную плоскость и сравнение полученной кривой с графиками известных функций.
Простейшая эмпирическая формула (уравнение прямой) . О применимости этой формулы можно судить по величинам
.
Если , то формула применима.
В ряде случаев к линейной зависимости могут быть сведены экспериментальные данные, когда их график в декартовой системе координат не является прямой. Это может быть достигнуто путем введения новых переменных: . Они выбираются так, чтобы точки лежали на прямой. Такое преобразование называется выравниванием данных. Например, степенная зависимость логарифмированием преобразуется к виду .