П. 3.2. Подбор параметров для выбранного типа эмпирической формулы
Пусть выбрана эмпирическая формула типа
, (3.1)
где
- неизвестные параметры.
Определение
3.1.
Величина
(3.2)
называется отклонением от экспериментальных данных.
П. 3.2.1. Метод средних
Для
определения параметров в формуле , (3.1)
можно применить метод средних, а именно
условие равенства нулю суммы отклонений
во всех точках
(3.3)
Имеем
одно уравнение с
неизвестным. Для однозначной разрешимости
разбиваем (3.3) на систему из
уравнений, например
(3.4)
Так
как систему (3.4) можно составит по-разному,
то и получаемые решения (значения
параметров
)
будут различными.
П. 3.2.2. Среднеквадратичное приближение
Рассмотрим как величину аппроксимации величину
(3.5)
Параметры
функции (3.1) будем искать таким образом,
чтобы они минимизировали функцию
,
определенную по формуле (3.5).
Решение задачи о нахождении параметров в такой постановке называется методом наименьших квадратов.
Необходимые
условия минимума функции
дают систему уравнений:
(3.6)
Если
(3.7)
где
- линейно независимые функции, тогда
система уравнений (3.6) будет линейной.
На практике часто используются функции
.
(3.8)
Тогда
(3.9)
многочлен
степени
.
Следовательно,
Таким образом, из (3.6) получаем систему следующего вида:
(3.10)
При
полученный многочлен совпадает с
интерполяционным многочленом Лагранжа.
Часть 2.Численное интегрирование §1.Простейшие квадратурные формулы п. 1.1.Постановка задачи
Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла
,
(1.1)
где - заданная функция.
На
отрезке
вводится сетка
.
В качестве приближенного значения
интеграла рассматривается число
,
(1.2)
где - числовые коэффициенты.
Определение
1.1.
Приближенное равенство
называется квадратурной
формулой.
Сумма
называется квадратурной
суммой.
Точки
- узлами
квадратурной формулы,
числа
- коэффициентами
квадратурной формулы.
Разность
называется погрешностью
квадратурной формулы.
Задача
численного интегрирования при помощи
квадратур состоит в отыскании таких
узлов
и таких коэффициентов
,
чтобы погрешность квадратурной формулы
была минимальной для функций из заданного
класса.
предполагается достаточной гладкой.
При построении квадратурной формулы интеграл (1.1) обычно представляют в виде суммы интегралов по частичным отрезкам:
(1.3)
Для построения формулы численного интегрирования на всем отрезке достаточно построить квадратурную формулу для интеграла
(1.4)
на частичном
отрезке
и воспользоваться свойством (1.3).
П. 1.2.Формула прямоугольников
Введем на отрезке равномерную сетку с шагом h
.
Заменим
интеграл (1.4) выражением
,
где
.
Геометрически
такая замена означает, что площадь
криволинейной трапеции ABCD
заменяется площадью прямоугольника
.
Тогда получим формулу
(1.0)
Она называется формулой средних прямоугольников на частичном отрезке .
Погрешность
метода определяется величиной
.
Ее легко можно оценить с помощью формулы
Тейлора. Действительно, запишем
в следующем виде
,
(1.5)
воспользуемся разложением
,
где
.
Тогда из (1.6) получим
Обозначим
,
тогда погрешность
можно оценить следующим образом
Таким образом, для погрешности формулы прямоугольников на частичном отрезке справедлива оценка
,
(1.6)
т.е.,
формула имеет погрешность
при
.
Оценка (1.7) неулучшаема, т.е. существует
формула для которой оценка (1.7) выполняется
со знаком равенства (например,
).
Суммируя
равенство (1.5) по
,
получим составную формулу прямоугольников
(1.7)
Погрешность
этой формулы
равна сумме погрешностей по всем
частичным отрезкам
(1.8)
Обозначим
,
тогда из (1.9) получаем
, (1.9)
т.е.,
погрешность формулы прямоугольников
на всем отрезке есть величина
при
.
В этом случае говорят, что квадратурная
формула имеет второй
порядок точности.