- •Глава 5. Билинейные и квадратичные формы
- •§ 1. Билинейные формы Определение билинейной формы и ее различные формы записи
- •Обозначим, как обычно,
- •Изменение матрицы билинейной формы при изменении базиса
- •Симметричные билинейные формы
- •§ 2. Квадратичные формы
- •§ 3. Канонический вид квадратичной формы
- •§ 4. Знакоопределенные квадратичные формы
- •§ 5. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичных форм
- •Упражнение. Сформулируйте критерий знакоопределенности для симметричной билинейной формы.
Глава 5. Билинейные и квадратичные формы
§ 1. Билинейные формы Определение билинейной формы и ее различные формы записи
Определение. Билинейной формой на линейном пространстве над полем называется функция двух векторных аргументов, принимающая значения из поля , линейная по каждому из своих аргументов, т. е. удовлетворяющая следующим условиям.
1*. : ;
2*. : ;
3*. : ;
4*. : .
Рассмотрим n-мерное линейное пространство и выберем в нем какой-либо базис:
(5.1)
Каждый вектор пространства можно разложить по этому базису: . Тогда
. (5.2)
Из (5.2) видно, что значение билинейной формы для любых двух векторов и выражается через координаты этих векторов и некоторые числа , которые с аргументами и не связаны, а зависят только от выбранного базиса. Обозначим
. (5.3)
Из (5.2) вытекает
. (5.4)
Равенство (5.4) называется координатной формой записи билинейной формы.
Определение. Матрицей билинейной формы в базисе (5.1) называется матрица , где .
Обозначим, как обычно,
, –
координатные столбцы векторов и соответственно в заданном базисе. Заметим, что – число, которое можно рассматривать как матрицу размеров . В таком случае (5.4) можно переписать и так: , откуда получаем
. (5.5)
Это равенство называется матричной формой записи билинейной формы.
Итак, если в задан базис, то каждой билинейной форме на линейном пространстве соответствует единственная матрица В – матрица этой билинейной формы в заданном базисе. Докажем, что верно и обратное утверждение.
Теорема 5.1. Пусть в линейном пространстве задан какой-либо базис (5.1). Тогда для любой квадратной матрицы , на линейном пространстве существует единственная билинейная форма , матрица которой в заданном базисе совпадает с В, т. е. такая, для которой выполняется условие 5.3).
►Построение. Положим по определению:
Линейность.
:
;
.
Таким образом, линейность по первому аргументу доказана. Аналогично проверяется линейность и по второму аргументу.
Выполнение условия (5.3). Так как (т. е. i-я координата вектора равна , а j-я координата вектора – ), то .
Единственность. Предположим, что существует еще одна билинейная форма , не совпадающая с формой , для которой выполняется (5.3). Тогда
,
и мы пришли к противоречию.◄
Таким образом, если в задан какой-либо базис, то между множеством билинейных форм на линейном пространстве и множеством квадратных матриц n-го порядка с элементами из поля Р устанавливается
взаимно однозначное соответствие.
Изменение матрицы билинейной формы при изменении базиса
Теорема 5.2. Пусть в линейном пространстве заданы два базиса:
(5.6)
и
, (5.7)
и пусть и – матрицы билинейной формы в базисах (5.6) и (5.7) соответственно. Тогда
, (5.8)
где Т – матрица перехода от (5.6) к (5.7).
►Воспользуемся определением билинейной формы и ее матрицы, а также определением матрицы перехода:
. (5.9)
Заметим, что в правой части равенства (5.9) индекс должен соответствовать номеру строки, а индекс – номеру столбца (по согласованию с левой частью), поэтому из (5.9) и вытекает равенство (5.8).◄
Следствие. Если матрица билинейной формы в одном из базисов пространства невырождена, то в любом другом базисе матрица этой билинейной формы также невырождена.
Определение. Билинейная форма на линейном пространстве называется невырожденной, если ее матрица в некотором, а значит, и в любом базисе пространства невырождена.
Определение. Квадратные матрицы и называются конгруэнтными, если они связаны соотношением (5.8), где – невырожденная матрица.
Таким образом, матрицы одной и той же билинейной формы в различных базисах конгруэнтны.