§ 4. Знакоопределенные квадратичные формы
В этом параграфе и до конца главы мы будем рассматривать квадратичные формы только на действительных линейных пространствах.
Определения. Квадратичная форма называется положительно определенной, если она принимает положительные значения для любого нетривиального набора переменных.
Квадратичная форма называется отрицательно определенной, если она принимает отрицательные значения для любого нетривиального набора переменных.
Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если для любого нетривиального набора переменных она принимает либо положительное (отрицательное) значение, либо 0.
Квадратичная форма знаконеопределена, если существует нетривиальный набор переменных, при которых она принимает положительное значение, и существует нетривиальный набор переменных, при которых она принимает отрицательное значение.
Лемма 5.3. Эквивалентные квадратичные формы принимают одинаковые значения при соответствующих наборах переменных.
►Пусть
квадратичные формы
и
эквивалентны. Это значит, что существует
линейное невырожденное преобразование
переменных
,
переводящее квадратичную форму
в квадратичную форму
.
Тогда по теореме 5.5
,
значит,
.◄
Следствие. Если квадратичная форма положительно определена, то все эквивалентные ей квадратичные формы также положительно определены.
Лемма 5.4 (необходимое условие знакоопределенности). Если квадратичная форма положительно (отрицательно) определена, то все ее коэффициенты при квадратах положительны (отрицательны).
►Пусть квадратичная форма
=
положительно
определена. Тогда
(единица на m-м
месте), следовательно, все коэффициенты
при квадратах положительны.◄
Теорема 5.8 (первый критерий знакоопределенности). Для того чтобы квадратичная форма была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты какого-либо ее канонического вида были положительными (отрицательными).
►Пусть задана квадратичная форма и пусть
=
– (5.23)
какой-либо ее канонический вид.
Необходимость.
Дано: исходная квадратичная форма
положительно определена. Тогда по
следствию к лемме 5.3 форма (5.23) тоже
положительно определена, а значит, по
лемме 5.4
.
Достаточность.
Дано:
.
Тогда, очевидно, для любого нетривиального
набора переменных форма (5.23) принимает
только положительные значения,
следовательно, она положительно
определена, и поэтому положительно
определена и исходная квадратичная
форма. ◄
Следствие. Матрица положительно определенной квадратичной формы имеет положительный определитель.
►Пусть А – матрица
положительно определенной квадратичной
формы, А' – матрица ее канонического
вида (5.23). При линейном невырожденном
преобразовании переменных определитель
матрицы квадратичной формы не меняет
знака. Так как
,
то и
.◄
§ 5. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичных форм
Назовем r-м усечением квадратичной формы
(5.24)
квадратичную
форму
.
Пусть
–
матрица
квадратичной формы (5.24). Главными
минорами матрицы
А
называются ее миноры, расположенные в
левом верхнем углу. Будем обозначать
главный минор r-го
порядка матрицы А.
Очевидно, что
совпадает с определителем матрицы
квадратичной формы
.
Теорема 5.9 (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы были положительными. Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы нечетного порядка были отрицательными, а четного – положительными.
►Доказательство для положительной определенности.
Необходимость.
Дано: квадратичная форма положительно
определена. Тогда для любого нетривиального
набора переменных
,
значит, положительно определена и
квадратичная форма
,
и поэтому
,
на основании следствия к теореме 5.8.
Достаточность.
Дано:
.
Доказательство проведем методом
математической индукции по количеству
переменных.
1.
Проверяем утверждение при
.
Имеем
,
т. е. квадратичная форма k
положительно определена.
2. Пусть утверждение верно для квадратичных форм от (n–1)-й переменной. Докажем его для квадратичных форм от n переменных.
Так
как
,
то, по предположению индукции, квадратичная
форма
положительно определена, а значит,
существует линейное невырожденное
преобразование переменных
(5.25)
с
матрицей
,
приводящее
к нормальному виду
.
Рассмотрим следующее преобразование
переменных:
.
(5.26)
Если
Т
– матрица преобразования (5.26), то
,
а значит, (5.26) – линейное невырожденное
преобразование переменных. Применив
(5.26) к форме (5.24), получаем:
[(5.26)]
.
(5.27)
Обозначим
и положим
(5.28)
Очевидно, (5.28) – линейное преобразование переменных с матрицей
.
Так
как
,
то (5.28) – линейное невырожденное
преобразование переменных, которое
переводит квадратичную форму (5.27) в
квадратичную форму
.
(5.29)
Применяя к форме (5.24) композицию преобразований (5.26) и (5.28), получаем квадратичную форму (5.29). Таким образом, (5.29) эквивалентна исходной квадратичной форме (5.24).
Обозначим
матрицу формы (5.29). Так как при линейном
невырожденном преобразовании переменных
определитель матрицы квадратичной
формы не меняет знака и так как det A
=
,
то
.
Поэтому квадратичная форма (5.32) положительно определена согласно теореме 5.8, а значит, положительно определена и исходная квадратичная форма.
Доказательство
для отрицательной определенности.
Обозначим
,
– матрицу квадратичной формы
,
– главные миноры матрицы
.
Тогда
{k
отрицательно определена}
{
положительно определена}
◄
Замечание. Можно доказать, что если хотя бы один минор четного порядка матрицы квадратичной формы есть число отрицательное, то эта квадратичная форма знаконеопределена.
Определение. Симметричная билинейная форма называется положительно определенной, если положительно определена соответствующая ей квадратичная форма.