- •Глава 6. Евклидовы пространства
- •§ 1. Действительные евклидовы пространства
- •Простейшие следствия из аксиом
- •Примеры действительных евклидовых пространств
- •Псевдоевклидово пространство
- •Примером псевдоевклидова пространства является пространство
- •§ 2. Комплексные евклидовы (унитарные) пространства
- •4*. Причем .
- •§ 3. Некоторые свойства скалярного произведения
- •§ 4. Ортогональные системы векторов
- •§ 5. Процесс ортогонализации Шмидта
- •§ 6. Выражение скалярного произведения через координаты
- •Изменение матриц Грама при изменении базиса
- •§ 7. Некоторые свойства матрицы Грама
- •§ 8. Разложение евклидового пространства в прямую сумму подпространств
- •§ 9. Изоморфизм евклидовых пространств
Глава 6. Евклидовы пространства
§ 1. Действительные евклидовы пространства
Определение. Говорят, что на действительном линейном пространстве задана операция скалярного произведения, если задан закон, по которому каждой паре элементов ставится в соответствие действительное число, которое называется их скалярным произведением, обозначается и удовлетворяет следующим аксиомам:
1*. .
2*. .
3*.
4*. причем .
Простейшие следствия из аксиом
1º.
► [1*] = [2*] = = [1*] = ◄
2º.
► = [1*] = = [3*] = = [1*] = ◄
3º.
► ◄
Итак, скалярное произведение на действительном линейном пространстве – это функция двух векторных аргументов. На основании второй и третьей аксиом она линейна по первому аргументу, а на основании следствий из аксиом – линейна и по второму, т. е. это билинейная форма. Из первой аксиомы вытекает, что эта билинейная форма симметрична, а из четвертой – что она еще и положительно определена. Таким образом, скалярное произведение на действительном линейном пространстве – это положительно определенная симметричная билинейная форма.
Определение. Действительным евклидовым (или просто евклидовым) пространством называется действительное линейное пространство, в котором задана операция скалярного произведения.
Примеры действительных евклидовых пространств
1. Пространство свободных векторов с введенным в нем обычным скалярным произведением . Очевидно, всем аксиомам скалярного произведения оно удовлетворяет (эти аксиомы просто «списаны» со свойств обычного скалярного произведения).
2. Пространство , в котором скалярное произведение задается равенством
(см. § 5 гл. 3).
3. Пространство непрерывных на отрезке функций, в котором скалярное произведение задается так:
.
Очевидно, трем первым аксиомам скалярного произведения оно удовлетворяет. Проверка четвертой аксиомы – несложное упражнение из математического анализа.
Евклидово пространство будем обозначать буквой . Если соответствующее ему линейное пространство n-мерно, то и евклидово называется n-мерным и обозначается .
Псевдоевклидово пространство
Иногда в определении скалярного произведения на действительном линейном пространстве отказываются от положительной определённости билинейной формы, заменяя её невырожденностью, т. е. называют скалярным произведением симметричную невырожденную билинейную форму. Действительное линейное пространство с введенным таким образом скалярным произведением называется псевдоевклидовым.
Примером псевдоевклидова пространства является пространство
,
в котором операция скалярного произведения задана так:
.
Это пространство называется пространством Минковского (или пространство-время).
Упражнение. Верны ли в пространстве Минковского утверждения: ? ?
§ 2. Комплексные евклидовы (унитарные) пространства
Определение. Говорят, что на комплексном линейном пространстве задана операция скалярного произведения, если задан закон, по которому каждой паре элементов ставится в соответствие комплексное число, которое называется их скалярным произведением, обозначается и удовлетворяет следующим аксиомам:
1*. .
2*. .
3*.